Номер 220, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 220, страница 54.

220. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$;

б) $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$;

В) $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$;

Г) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$.

а) $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений. Важно помнить, что минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.

$\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3} = \frac{(x^2 - 2x) - (4x - 9)}{x - 3} = \frac{x^2 - 2x - 4x + 9}{x - 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$.

$\frac{(x - 3)^2}{x - 3}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-3)$, при условии, что $x \neq 3$.

$\frac{(x - 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{x - 3}} = x - 3$

Ответ: $x - 3$.

б) $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:

$\frac{y^2 - 10 - 54}{y - 8} = \frac{y^2 - 64}{y - 8}$

Числитель является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=y$ и $b=8$.

$\frac{(y - 8)(y + 8)}{y - 8}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-8)$, при условии, что $y \neq 8$.

$\frac{\cancel{(y - 8)}(y + 8)}{\cancel{y - 8}} = y + 8$

Ответ: $y + 8$.

в) $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$

Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{-(b^2 - a^2)} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2}$

При условии, что $a^2 - b^2 \neq 0$ (т.е. $a \neq b$ и $a \neq -b$), выражение равно 1.

Ответ: $1$.

г) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$

Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2)$.

Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{-(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{(x^2 - 2x) + (2y - y^2)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 - 2x + 2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы разложить его на множители:

$\frac{(x^2 - y^2) + (-2x + 2y)}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)(x+y) - 2(x-y)}{x^2 - y^2}$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ в числителе:

$\frac{(x-y)(x+y-2)}{x^2 - y^2}$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии, что $x \neq y$.

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y-2)}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{x+y-2}{x+y}$

Ответ: $\frac{x+y-2}{x+y}$.