Номер 213, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 213, страница 53.

213. Сократите дробь:

а) $\frac{\overline{a00a}}{91}$;

б) $\frac{\overline{a0a0}}{101}$.

а)

Рассмотрим числитель дроби $\frac{\overline{a00a}}{91}$. Запись $\overline{a00a}$ обозначает четырехзначное число, первая и последняя цифры которого равны 'a', а вторая и третья равны нулю. При этом, так как 'a' является первой цифрой числа, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a00a} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 1000a + a = 1001a$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\overline{a00a}}{91} = \frac{1001a}{91}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на простые множители или найти их наибольший общий делитель. Проверим, делится ли 1001 на 91.

$1001 \div 91 = 11$.

Таким образом, $1001 = 91 \cdot 11$. Теперь мы можем выполнить сокращение:

$\frac{1001a}{91} = \frac{91 \cdot 11 \cdot a}{91} = 11a$.

Ответ: $11a$.

б)

Рассмотрим числитель дроби $\frac{\overline{a0a0}}{101}$. Запись $\overline{a0a0}$ обозначает четырехзначное число. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых, учитывая, что $a \in \{1, 2, ..., 9\}$:

$\overline{a0a0} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + a \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 = 1000a + 10a = 1010a$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{\overline{a0a0}}{101} = \frac{1010a}{101}$.

Для сокращения дроби найдем общие множители числителя и знаменателя. Очевидно, что 1010 делится на 101:

$1010 = 101 \cdot 10$.

Теперь выполним сокращение дроби:

$\frac{1010a}{101} = \frac{101 \cdot 10 \cdot a}{101} = 10a$.

Ответ: $10a$.