Страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

207. Зная, что $\frac{a+2b}{a}=11$, найдите значение дроби $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Для решения этой задачи необходимо сначала упростить данное равенство, чтобы выразить одну переменную через другую или найти их отношение, а затем подставить это отношение в искомую дробь.

1. Преобразуем исходное равенство $\frac{a+2b}{a}=11$.

Поскольку переменная $a$ находится в знаменателе, $a \neq 0$. Мы можем разделить числитель на знаменатель почленно:

$\frac{a}{a} + \frac{2b}{a} = 11$

$1 + \frac{2b}{a} = 11$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{2b}{a} = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = 5$

Нам понадобится обратное отношение, $\frac{a}{b}$. Если $\frac{b}{a} = 5$, то $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$. Из этого также следует, что $b \neq 0$.

2. Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Используя свойство степени, можно записать это выражение как квадрат дроби:

$\left(\frac{a-3b}{b}\right)^2$

Теперь разделим числитель дроби в скобках на ее знаменатель почленно:

$\left(\frac{a}{b} - \frac{3b}{b}\right)^2 = \left(\frac{a}{b} - 3\right)^2$

3. Подставим найденное значение отношения $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ в полученное выражение:

$\left(\frac{1}{5} - 3\right)^2$

Выполним вычитание в скобках, приведя 3 к знаменателю 5:

$\left(\frac{1}{5} - \frac{15}{5}\right)^2 = \left(-\frac{14}{5}\right)^2$

Возведем полученную дробь в квадрат:

$\left(-\frac{14}{5}\right)^2 = \frac{(-14)^2}{5^2} = \frac{196}{25}$

Ответ: $\frac{196}{25}$

206. Найдите значение дроби $\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2}$, если $\frac{x - y}{y} = 2$.

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2}$, сначала преобразуем данное нам условие $\frac{x-y}{y} = 2$, чтобы найти связь между переменными $x$ и $y$.

Начнем с преобразования условия. Разделим левую часть равенства на два слагаемых. Заметим, что $y \neq 0$, иначе знаменатель дроби в условии был бы равен нулю.

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x}{y} - 1$

Так как по условию это выражение равно 2, получаем уравнение:

$\frac{x}{y} - 1 = 2$

Отсюда находим, что отношение $\frac{x}{y}$ равно:

$\frac{x}{y} = 3$

Теперь преобразуем дробь, значение которой нужно найти. Разделим каждый член числителя на знаменатель $y^2$:

$\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} + \frac{6y^2}{y^2}$

Это выражение можно переписать, используя отношение $\frac{x}{y}$:

$3\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} + 6$

На последнем шаге подставим найденное значение $\frac{x}{y} = 3$ в преобразованную дробь и выполним вычисления:

$3 \cdot (3)^2 - 3 + 6 = 3 \cdot 9 - 3 + 6 = 27 - 3 + 6 = 24 + 6 = 30$

Ответ: 30

209. Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из А в В и шёл со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шёл со скоростью $v$ км/ч. Поезда встретились через $t$ ч после выхода первого поезда. Выразите $v$ через $t$. Найдите скорость $v$ при $t = 7$; при $t = 6$.

Выразите v через t

Пусть $S = 600$ км – это расстояние между городами А и В.
Скорость первого поезда, который вышел из А в В, составляет $v_1 = 60$ км/ч. Время его движения до встречи равно $t$ часов. За это время он прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 60t$ км.

Второй поезд вышел из В в А на 3 часа позже первого, его скорость равна $v$ км/ч. Это означает, что время движения второго поезда до встречи составляет $(t - 3)$ часа. Расстояние, которое он прошел за это время, равно $S_2 = v \cdot (t - 3)$ км.

Поезда двигались навстречу друг другу, поэтому в момент их встречи сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между городами:
$S_1 + S_2 = S$
Подставив известные значения и выражения, получим уравнение:
$60t + v(t - 3) = 600$

Чтобы выразить $v$ через $t$, решим это уравнение относительно $v$:
$v(t - 3) = 600 - 60t$
$v = \frac{600 - 60t}{t - 3}$
Ответ: $v = \frac{600 - 60t}{t - 3}$.

Найдите скорость v при t = 7

Чтобы найти скорость $v$ при $t = 7$ часам, подставим это значение в полученную формулу:
$v = \frac{600 - 60 \cdot 7}{7 - 3} = \frac{600 - 420}{4} = \frac{180}{4} = 45$
Таким образом, скорость второго поезда равна 45 км/ч.
Ответ: 45 км/ч.

Найдите скорость v при t = 6

Аналогично, чтобы найти скорость $v$ при $t = 6$ часам, подставим это значение в формулу:
$v = \frac{600 - 60 \cdot 6}{6 - 3} = \frac{600 - 360}{3} = \frac{240}{3} = 80$
Таким образом, скорость второго поезда равна 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч.

211. Составьте какую-либо дробь с переменной $x$, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме:

а) $x = 2;$

б) $x = 0$ и $x = 3;$

в) $x = -3$ и $x = 3;$

г) $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}.$

Основное условие существования дроби — её знаменатель не должен быть равен нулю. Чтобы составить дробь, которая не имеет смысла (не определена) при определённых значениях переменной $x$, нужно создать знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях. Числитель при этом может быть любым числом, отличным от нуля (например, 1), или выражением, которое не обращается в ноль одновременно со знаменателем.

Общий принцип: если требуется, чтобы дробь была не определена при $x=a$, её знаменатель должен содержать множитель $(x-a)$.

а)

Дробь должна быть не определена при $x = 2$. Это означает, что знаменатель дроби должен становиться нулём при $x=2$. Простейшее выражение, удовлетворяющее этому условию, — это $x-2$. Выбрав в качестве числителя 1, получаем искомую дробь.

Ответ: $\frac{1}{x-2}$

б)

Дробь должна быть не определена при $x = 0$ и $x = 3$. Следовательно, знаменатель должен обращаться в ноль при обоих этих значениях. Это означает, что в знаменателе должны быть множители $(x-0)$, то есть $x$, и $(x-3)$. В качестве знаменателя возьмём их произведение: $x(x-3) = x^2-3x$.

Ответ: $\frac{1}{x(x-3)}$

в)

Дробь должна быть не определена при $x = -3$ и $x = 3$. Знаменатель должен быть равен нулю при этих значениях. Значит, он должен содержать множители $(x - (-3))$, то есть $(x+3)$, и $(x-3)$. Их произведение, согласно формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, равно $(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Ответ: $\frac{1}{x^2-9}$

г)

Дробь должна быть не определена при $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$. Знаменатель должен быть равен нулю при этих значениях. Соответствующие множители: $(x-(-\frac{1}{2})) = (x+\frac{1}{2})$ и $(x-\frac{1}{2})$. Их произведение равно $(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) = x^2 - (\frac{1}{2})^2 = x^2 - \frac{1}{4}$. Чтобы получить знаменатель без дробей, можно домножить полученное выражение на 4, что не изменит его корней: $4(x^2 - \frac{1}{4}) = 4x^2 - 1$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2-1}$

213. Сократите дробь:

а) $\frac{\overline{a00a}}{91}$;

б) $\frac{\overline{a0a0}}{101}$.

а)

Рассмотрим числитель дроби $\frac{\overline{a00a}}{91}$. Запись $\overline{a00a}$ обозначает четырехзначное число, первая и последняя цифры которого равны 'a', а вторая и третья равны нулю. При этом, так как 'a' является первой цифрой числа, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a00a} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 1000a + a = 1001a$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\overline{a00a}}{91} = \frac{1001a}{91}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на простые множители или найти их наибольший общий делитель. Проверим, делится ли 1001 на 91.

$1001 \div 91 = 11$.

Таким образом, $1001 = 91 \cdot 11$. Теперь мы можем выполнить сокращение:

$\frac{1001a}{91} = \frac{91 \cdot 11 \cdot a}{91} = 11a$.

Ответ: $11a$.

б)

Рассмотрим числитель дроби $\frac{\overline{a0a0}}{101}$. Запись $\overline{a0a0}$ обозначает четырехзначное число. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых, учитывая, что $a \in \{1, 2, ..., 9\}$:

$\overline{a0a0} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + a \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 = 1000a + 10a = 1010a$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{\overline{a0a0}}{101} = \frac{1010a}{101}$.

Для сокращения дроби найдем общие множители числителя и знаменателя. Очевидно, что 1010 делится на 101:

$1010 = 101 \cdot 10$.

Теперь выполним сокращение дроби:

$\frac{1010a}{101} = \frac{101 \cdot 10 \cdot a}{101} = 10a$.

Ответ: $10a$.

208. Найдите значение дроби:

а) $ \frac{51+17^2}{10} $;

б) $ \frac{37^2+111}{40} $.

а)

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{51 + 17^2}{10}$, необходимо сначала выполнить действия в числителе, соблюдая порядок операций: сначала возведение в степень, затем сложение.

1. Вычисляем квадрат числа 17:

$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$

2. Теперь складываем полученное значение с числом 51:

$51 + 289 = 340$

3. Наконец, делим результат на знаменатель:

$\frac{340}{10} = 34$

Ответ: 34

б)

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{37^2 + 111}{40}$, также выполним действия в числителе по порядку: сначала возведение в степень, а затем сложение.

1. Вычисляем квадрат числа 37:

$37^2 = 37 \cdot 37 = 1369$

2. Складываем полученное значение с числом 111:

$1369 + 111 = 1480$

3. Теперь делим результат на знаменатель:

$\frac{1480}{40} = \frac{148}{4} = 37$

Ответ: 37

210. Найдите допустимые значения переменной в выражении

а) $ \frac{3x - 8}{25} $

б) $ \frac{37}{2y + 7} $

в) $ \frac{9}{x^2 - 7x} $

г) $ \frac{2y + 5}{y^2 + 8} $

д) $ \frac{12}{|x| - 3} $

е) $ \frac{45}{|y| + 2} $

а) Допустимые значения переменной (или область определения) для выражения — это все те значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дробей это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. В выражении $\frac{3x-8}{25}$ знаменатель равен 25, что является константой и не равно нулю. Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

б) В выражении $\frac{37}{2y+7}$ знаменатель $2y+7$ не должен равняться нулю. Найдем значения $y$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключим их.
$2y+7=0$
$2y = -7$
$y = -\frac{7}{2}$
$y = -3.5$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y = -3.5$.
Ответ: все числа, кроме $y = -3.5$.

в) В выражении $\frac{9}{x^2-7x}$ знаменатель $x^2-7x$ не должен равняться нулю. Решим уравнение, чтобы найти недопустимые значения $x$.
$x^2-7x=0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-7)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x=0$ или $x-7=0 \implies x=7$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 0 и 7.
Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = 7$.

г) В выражении $\frac{2y+5}{y^2+8}$ знаменатель равен $y^2+8$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($y^2 \ge 0$), то выражение $y^2+8$ всегда будет больше или равно 8 ($y^2+8 \ge 8$). Значит, знаменатель никогда не может быть равен нулю.
Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

д) В выражении $\frac{12}{|x|-3}$ знаменатель $|x|-3$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, которые нужно исключить.
$|x|-3=0$
$|x|=3$
Это уравнение верно для двух значений $x$: $x=3$ и $x=-3$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 3 и -3.
Ответ: все числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$.

е) В выражении $\frac{45}{|y|+2}$ знаменатель равен $|y|+2$. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной ($|y| \ge 0$). Поэтому выражение $|y|+2$ всегда будет больше или равно 2 ($|y|+2 \ge 2$). Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

212. Укажите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{x-2}$

б) $y = \frac{3x}{x+5}$

в) $y = \frac{7x+1}{2x-6}$

а) Дана функция $y = \frac{1}{x-2}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Следовательно, при $x=2$ функция не определена. Областью определения являются все действительные числа, кроме $x=2$.
Ответ: $x \neq 2$, или в виде интервала $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{3x}{x+5}$. Эта функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Значит, функция не определена в точке $x=-5$. Область определения — это все действительные числа, за исключением -5.
Ответ: $x \neq -5$, или в виде интервала $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \frac{7x+1}{2x-6}$. Область определения этой функции — все действительные числа, для которых знаменатель $2x-6$ не равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Таким образом, функция не определена при $x=3$. Областью определения функции являются все действительные числа, кроме 3.
Ответ: $x \neq 3$, или в виде интервала $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

214. Сократите дробь:

а) $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$;

б) $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$;

в) $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$;

г) $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0,36b^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобку: $(3a - 3c)^2 = (3(a - c))^2 = 3^2(a - c)^2 = 9(a - c)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 9 за скобку и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^2 - 9c^2 = 9(a^2 - c^2) = 9(a - c)(a + c)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{9(a - c)^2}{9(a - c)(a + c)}$.
Сократим общий множитель $9(a - c)$:$\frac{9(a-c)(a-c)}{9(a-c)(a+c)} = \frac{a - c}{a + c}$.
Ответ: $\frac{a - c}{a + c}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$:$(a^2 - 9)^2 = ((a - 3)(a + 3))^2 = (a - 3)^2(a + 3)^2$.
В знаменателе вынесем -1 за скобку, чтобы получить выражение $(a - 3)$:$(3 - a)^3 = (-(a - 3))^3 = (-1)^3(a - 3)^3 = -(a - 3)^3$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{(a - 3)^2(a + 3)^2}{-(a - 3)^3}$.
Сократим общий множитель $(a - 3)^2$:$\frac{(a + 3)^2}{-(a - 3)} = -\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.
Ответ: $-\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель представляет собой разность кубов. Применим формулу $x^3 - z^3 = (x - z)(x^2 + xz + z^2)$:$8y^3 - 1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y - 1)((2y)^2 + 2y \cdot 1 + 1^2) = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $y$ и применим формулу разности квадратов:$y - 4y^3 = y(1 - 4y^2) = y(1^2 - (2y)^2) = y(1 - 2y)(1 + 2y)$.
Заметим, что $(1 - 2y) = -(2y - 1)$. Перепишем знаменатель: $y(-(2y - 1))(1 + 2y) = -y(2y - 1)(2y + 1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)}{-y(2y - 1)(2y + 1)}$.
Сократим общий множитель $(2y - 1)$:$\frac{4y^2 + 2y + 1}{-y(2y + 1)} = -\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$.
Ответ: $-\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0,36b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобку: $5a^2 - 3ab = a(5a - 3b)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов. Заметим, что $0,36 = (0,6)^2$:$a^2 - 0,36b^2 = a^2 - (0,6b)^2 = (a - 0,6b)(a + 0,6b)$.
Чтобы найти общий множитель, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{3}{5}$.Знаменатель: $(a - \frac{3}{5}b)(a + \frac{3}{5}b)$. Вынесем $\frac{1}{5}$ из первой скобки: $\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + \frac{3}{5}b)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{a(5a - 3b)}{\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + \frac{3}{5}b)}$.
Сократим общий множитель $(5a - 3b)$:$\frac{a}{\frac{1}{5}(a + \frac{3}{5}b)} = \frac{5a}{a + \frac{3}{5}b}$.
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 5:$\frac{5a \cdot 5}{(a + \frac{3}{5}b) \cdot 5} = \frac{25a}{5a + 3b}$.
Ответ: $\frac{25a}{5a + 3b}$.