Страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Рис. 7

Рис. 8

191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы:

а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?

б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?

в) Каково расстояние между пунктами А и В?

а) Чтобы определить время, необходимое для поездки, по графику находят значение скорости $v$ на горизонтальной оси, поднимаются от этой точки вертикально до пересечения с кривой, а затем от точки пересечения движутся горизонтально до вертикальной оси времени $t$ и считывают значение.

- Для скорости $v = 80$ км/ч: находим на оси $v$ значение 80. Соответствующее значение на оси $t$ равно 1. Таким образом, потребуется 1 час.
- Для скорости $v = 25$ км/ч: находим на оси $v$ значение 25. График показывает, что время будет немного больше 3 часов. Чтобы найти точное значение, можно сначала определить расстояние, используя удобную точку на графике. Например, при $v=40$ км/ч, время $t=2$ ч. Расстояние $S = v \cdot t = 40 \cdot 2 = 80$ км. Теперь можно вычислить точное время для $v=25$ км/ч: $t = \frac{S}{v} = \frac{80}{25} = 3,2$ часа.
- Для скорости $v = 40$ км/ч: находим на оси $v$ значение 40. Соответствующее значение на оси $t$ равно 2. Потребуется 2 часа.

Ответ: при скорости 80 км/ч потребуется 1 час; при 25 км/ч – 3,2 часа; при 40 км/ч – 2 часа.

б) Чтобы определить необходимую скорость для поездки за заданное время, находят значение времени $t$ на вертикальной оси, движутся от этой точки горизонтально до пересечения с кривой, а затем от точки пересечения опускаются вертикально до горизонтальной оси скорости $v$ и считывают значение.

- Чтобы добраться за $t = 1$ ч: находим на оси $t$ значение 1. Соответствующая скорость на оси $v$ составляет 80 км/ч.
- Чтобы добраться за $t = 4$ ч: находим на оси $t$ значение 4. Соответствующая скорость на оси $v$ составляет 20 км/ч.
- Чтобы добраться за $t = 8$ ч: находим на оси $t$ значение 8. Соответствующая скорость на оси $v$ составляет 10 км/ч.
- Чтобы добраться за $t = 16$ ч: находим на оси $t$ значение 16. Соответствующая скорость на оси $v$ составляет 5 км/ч.

Ответ: чтобы добраться за 1 ч, нужна скорость 80 км/ч; за 4 ч – 20 км/ч; за 8 ч – 10 км/ч; за 16 ч – 5 км/ч.

в) График представляет собой зависимость времени от скорости, которая описывается формулой обратной пропорциональности $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – это постоянное расстояние. Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость на время ($S = v \cdot t$), используя координаты любой точки с графика.

Возьмем, например, точку с координатами $v = 40$ км/ч и $t = 2$ ч.

Рассчитаем расстояние: $S = 40 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

Для проверки возьмем другую точку: $v = 20$ км/ч и $t = 4$ ч.

$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

Расчет подтверждает, что расстояние постоянно.

Ответ: расстояние между пунктами А и В составляет 80 км.

193. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:

1. $y = -\frac{5}{x}$

2. $y = -\frac{3}{x}$

3. $y = \frac{3}{x}$

4. $y = \frac{5}{x}$

Укажите эту функцию.

Для того чтобы определить, график какой функции изображен на рисунке, необходимо проанализировать его ключевые особенности. Все предложенные функции относятся к классу обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, графиком которой является гипербола.

Сначала определим знак коэффициента $k$.

Если коэффициент $k > 0$, то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Этому условию соответствуют функции 3) $y = \frac{3}{x}$ и 4) $y = \frac{5}{x}$.

Если коэффициент $k < 0$, то ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Этому условию соответствуют функции 1) $y = -\frac{5}{x}$ и 2) $y = -\frac{3}{x}$.

Так как в условии задачи изображение графика отсутствует, мы не можем однозначно определить, в каких четвертях он расположен. Однако, мы можем предположить типичный вид графика для подобных заданий и проверить его.

Предположим, что ветви гиперболы на рисунке 8 находятся во второй и четвертой четвертях. Значит, нам нужно выбрать между функциями 1) $y = -\frac{5}{x}$ и 2) $y = -\frac{3}{x}$.

Чтобы сделать окончательный выбор, нужно взять любую точку, через которую проходит график, и проверить, удовлетворяет ли она уравнению функции. Обычно на графиках для таких задач легко найти точки с целочисленными координатами.

Давайте проверим, какая из функций проходит через точку с абсциссой $x=1$.

Для функции 1) $y = -\frac{5}{x}$: при $x=1$, $y = -\frac{5}{1} = -5$. Значит, эта гипербола проходит через точку $(1, -5)$.

Для функции 2) $y = -\frac{3}{x}$: при $x=1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$. Значит, эта гипербола проходит через точку $(1, -3)$.

Вам необходимо посмотреть на ваш график и определить, через какую из точек, $(1, -5)$ или $(1, -3)$, он проходит. Графики для школьных заданий чаще всего строят с использованием меньших целых чисел. Поэтому наиболее вероятно, что на рисунке изображен график, проходящий через точки $(1, -3)$ и $(-1, 3)$. Это соответствует функции $y = -\frac{3}{x}$.

Ответ: 2

192. Определите знак числа $k$, зная, что график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен:

а) в первой и третьей координатных четвертях;

б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

Функция $y = \frac{k}{x}$ является обратной пропорциональностью, её график — гипербола. Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

Из уравнения функции мы можем выразить $k$: $k = x \cdot y$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$, принадлежащей графику функции, произведение её координат равно $k$. Таким образом, знак $k$ совпадает со знаком произведения $xy$.

Рассмотрим знаки координат в каждой четверти:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0 \Rightarrow xy > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0 \Rightarrow xy < 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0 \Rightarrow xy > 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0 \Rightarrow xy < 0$

Теперь определим знак $k$ для каждого случая.

а) в первой и третьей координатных четвертях;

Если график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, то для любой точки на графике произведение координат $xy$ будет положительным. В первой четверти $x > 0$ и $y > 0$, поэтому $xy > 0$. В третьей четверти $x < 0$ и $y < 0$, поэтому $xy > 0$. Поскольку $k = xy$, то в обоих случаях $k$ должен быть положительным.
Ответ: $k > 0$.

б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

Если график функции расположен во второй и четвёртой координатных четвертях, то для любой точки на графике произведение координат $xy$ будет отрицательным. Во второй четверти $x < 0$ и $y > 0$, поэтому $xy < 0$. В четвёртой четверти $x > 0$ и $y < 0$, поэтому $xy < 0$. Поскольку $k = xy$, то в обоих случаях $k$ должен быть отрицательным.
Ответ: $k < 0$.

194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:

а) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от переменных, необходимо упростить данное выражение и показать, что в результате получится постоянное число.

Рассмотрим выражение $\frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2}$.

Сначала преобразуем знаменатель. Вынесем в выражении $(3y-3x)$ общий множитель 3 за скобки:

$(3y-3x)^2 = (3(y-x))^2 = 3^2 \cdot (y-x)^2 = 9(y-x)^2$.

Далее заметим, что выражения $(x-y)$ и $(y-x)$ являются противоположными, то есть $y-x = -(x-y)$. При возведении в квадрат это свойство дает следующий результат:

$(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (-1)^2(x-y)^2 = (x-y)^2$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2} = \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} = \frac{5(x-y)^2}{9(x-y)^2}$.

Допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль: $3y-3x \neq 0$, что означает $y \neq x$. При этом условии выражение $(x-y)^2$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$\frac{5(x-y)^2}{9(x-y)^2} = \frac{5}{9}$.

Полученное значение $\frac{5}{9}$ является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) Аналогично упростим выражение $\frac{(3x-6y)^2}{4(2y-x)^2}$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем в выражении $(3x-6y)$ общий множитель 3 за скобки:

$(3x-6y)^2 = (3(x-2y))^2 = 3^2 \cdot (x-2y)^2 = 9(x-2y)^2$.

Теперь рассмотрим выражение в знаменателе. Как и в предыдущем пункте, $(2y-x) = -(x-2y)$, поэтому их квадраты равны:

$(2y-x)^2 = (-(x-2y))^2 = (x-2y)^2$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} = \frac{9(x-2y)^2}{4(x-2y)^2}$.

Допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль: $2y-x \neq 0$, что означает $x \neq 2y$. При этом условии выражение $(x-2y)^2$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$\frac{9(x-2y)^2}{4(x-2y)^2} = \frac{9}{4}$.

Полученное значение $\frac{9}{4}$ является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{9}{4}$.