Страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

165. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

а) $\frac{2 - \frac{a}{x}}{2 + \frac{a}{x}}$

б) $\frac{\frac{a - b}{c} + 3}{\frac{a + b}{c} - 1}$

в) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

г) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}$

а)

Чтобы представить данную многоэтажную дробь в виде отношения многочленов, необходимо упростить числитель и знаменатель, а затем выполнить деление.

Исходное выражение: $\frac{2 - \frac{a}{x}}{2 + \frac{a}{x}}$

1. Приведем к общему знаменателю выражение в числителе:

$2 - \frac{a}{x} = \frac{2x}{x} - \frac{a}{x} = \frac{2x - a}{x}$

2. Приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе:

$2 + \frac{a}{x} = \frac{2x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{2x + a}{x}$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} = \frac{2x - a}{x} \cdot \frac{x}{2x + a}$

4. Сократим общий множитель $x$:

$\frac{2x - a}{2x + a}$

Альтернативный способ решения — умножить числитель и знаменатель исходной дроби на наименьший общий знаменатель всех малых дробей, то есть на $x$:

$\frac{(2 - \frac{a}{x}) \cdot x}{(2 + \frac{a}{x}) \cdot x} = \frac{2 \cdot x - \frac{a}{x} \cdot x}{2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x} = \frac{2x - a}{2x + a}$

Ответ: $\frac{2x - a}{2x + a}$

б)

Исходное выражение: $\frac{\frac{a-b}{c} + 3}{\frac{a+b}{c} - 1}$

1. Упростим числитель, приведя его к общему знаменателю $c$:

$\frac{a-b}{c} + 3 = \frac{a-b}{c} + \frac{3c}{c} = \frac{a-b+3c}{c}$

2. Упростим знаменатель, приведя его к общему знаменателю $c$:

$\frac{a+b}{c} - 1 = \frac{a+b}{c} - \frac{c}{c} = \frac{a+b-c}{c}$

3. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{a-b+3c}{c}}{\frac{a+b-c}{c}} = \frac{a-b+3c}{c} \cdot \frac{c}{a+b-c}$

4. Сократим общий множитель $c$:

$\frac{a-b+3c}{a+b-c}$

Ответ: $\frac{a-b+3c}{a+b-c}$

в)

Исходное выражение: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

1. Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y+x}{xy}$

2. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$

3. Выполним деление:

$\frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x}$

4. Сократим общий множитель $xy$:

$\frac{y+x}{y-x}$

Ответ: $\frac{y+x}{y-x}$

г)

Исходное выражение: $\frac{x-y}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}$

1. Числитель $x-y$ уже является многочленом. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{xy} - \frac{y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

2. Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:

$\frac{x-y}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}$

3. Выполним деление, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$(x-y) \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2}$

4. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя $x^2 - y^2$:

$(x-y) \cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$

5. Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{xy}{x+y}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y}$

167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) $\frac{a+b}{a-b}$, если $a=\frac{1}{1-x}$, $b=\frac{1}{1+x}$;

б) $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, если $x=\frac{ab}{a-b}$.

а)

Дано выражение $\frac{a+b}{a-b}$, где $a = \frac{1}{1-x}$ и $b = \frac{1}{1+x}$.

Подставим значения $a$ и $b$ в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x}}$

Сначала преобразуем числитель дроби. Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x) = 1-x^2$:

$a+b = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь преобразуем знаменатель дроби, используя тот же общий знаменатель:

$a-b = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x)}{(1-x)(1+x)} - \frac{1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x-(1-x)}{1-x^2} = \frac{1+x-1+x}{1-x^2} = \frac{2x}{1-x^2}$

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{2}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^2}{2x} = \frac{2 \cdot (1-x^2)}{(1-x^2) \cdot 2x}$

Сокращаем общие множители 2 и $(1-x^2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

б)

Дано выражение $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, где $x = \frac{ab}{a-b}$.

Подставим значение $x$ в выражение. Упростим каждую дробь по отдельности.

Упростим первую дробь $\frac{ax}{a+x}$:

Сначала найдем числитель: $ax = a \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2b}{a-b}$

Теперь найдем знаменатель: $a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

Разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$

Упростим вторую дробь $\frac{bx}{b-x}$:

Сначала найдем числитель: $bx = b \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b}$

Теперь найдем знаменатель: $b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b)}{a-b} - \frac{ab}{a-b} = \frac{ab-b^2-ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b}$

Разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = \frac{a}{-1} = -a$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенные значения дробей:

$\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} = b - (-a) = b+a$

Ответ: $a+b$

169. (Для работы в парах.) При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{1}{3 - \frac{1}{x - 2}}$;

б) $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x + 8}}$ ?

1) Обсудите, о каких значениях переменной $x$ в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения $x$, которые не являются допустимыми?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

а)

Выражение имеет смысл (определено), когда все знаменатели в нем не равны нулю. В данном выражении $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$ есть два знаменателя, которые могут обратиться в ноль.

1. Знаменатель внутренней дроби, $x-2$. Он не должен быть равен нулю.

$x-2 \neq 0$

$x \neq 2$

Это первое ограничение на значение переменной $x$.

2. Знаменатель основной дроби, $3 - \frac{1}{x-2}$. Он также не должен быть равен нулю.

$3 - \frac{1}{x-2} \neq 0$

Чтобы найти, при каком $x$ этот знаменатель равен нулю, решим уравнение:

$3 = \frac{1}{x-2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем умножить обе части на $(x-2)$:

$3(x-2) = 1$

$3x - 6 = 1$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Следовательно, $x$ не может быть равен $\frac{7}{3}$. Это второе ограничение.

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

Ответ: выражение имеет смысл при $x \neq 2$ и $x \neq \frac{7}{3}$.

б)

Данное выражение имеет смысл, когда все знаменатели в нем не равны нулю. В выражении $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$ также есть два знаменателя.

1. Знаменатель внутренней дроби, $x+8$. Он не должен быть равен нулю.

$x+8 \neq 0$

$x \neq -8$

Это первое ограничение.

2. Знаменатель основной дроби, $2 + \frac{1}{x+8}$. Он также не должен быть равен нулю.

$2 + \frac{1}{x+8} \neq 0$

Найдем значение $x$, при котором этот знаменатель равен нулю:

$2 = -\frac{1}{x+8}$

При условии, что $x \neq -8$, умножим обе части на $(x+8)$:

$2(x+8) = -1$

$2x + 16 = -1$

$2x = -17$

$x = -\frac{17}{2}$

Следовательно, $x$ не может быть равен $-\frac{17}{2}$. Это второе ограничение.

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-8$ и $x=-\frac{17}{2}$.

Ответ: выражение имеет смысл при $x \neq -8$ и $x \neq -\frac{17}{2}$.

171. Из пункта $A$ в пункт $B$ автобус ехал со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до $60 \text{ км/ч}$. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?

Для того чтобы найти среднюю скорость автобуса на всём пути следования, необходимо разделить весь пройденный путь на всё время движения. Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей.

Формула для нахождения средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий пройденный путь, а $t_{общ}$ — это общее время в пути.

Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$ км. Тогда общий путь, который проехал автобус (туда и обратно), составляет:

$S_{общ} = S + S = 2S$ км.

Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время движения из пункта А в пункт В ($t_1$) со скоростью $v_1 = 90$ км/ч:

$t_1 = \frac{S}{90}$ ч.

Время движения на обратном пути из В в А ($t_2$) со скоростью $v_2 = 60$ км/ч:

$t_2 = \frac{S}{60}$ ч.

Общее время в пути ($t_{общ}$) равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{90} + \frac{S}{60}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 90 и 60 равно 180.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{180} + \frac{3 \cdot S}{180} = \frac{2S + 3S}{180} = \frac{5S}{180} = \frac{S}{36}$ ч.

Теперь, зная общий путь и общее время, можем рассчитать среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{5S}{180}}$

Переменная $S$ (расстояние) сокращается:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{5}{180}} = 2 \cdot \frac{180}{5} = \frac{360}{5} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.

166. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

а) $\frac{x-a}{x-b}$, если $x = \frac{ab}{a+b}$;

б) $\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x}$, если $x = \frac{a-b}{a+b}$.

а)

Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$.

Получим многоэтажную дробь:

$\frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Сначала преобразуем числитель. Приведем его к общему знаменателю $(a+b)$:

$x - a = \frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Теперь преобразуем знаменатель. Приведем его к общему знаменателю $(a+b)$:

$x - b = \frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}} = \frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2} = \frac{(-a^2)(a+b)}{(-b^2)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$ и на $-1$:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

б)

Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$.

Получим выражение:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $b(a+b)$:

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}$

Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}$

Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2 + b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2 + b^2}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2 + b^2}}{b(\cancel{a+b})} \cdot \frac{a(\cancel{a+b})}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

168. Найдите значение выражения:

a) $\frac{\frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9}}{\frac{a}{12} + \frac{b}{18}}$ при $a = \frac{2}{3}$, $b = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{0,2a - b}{\frac{a^2}{25} - b^2}$ при $a = -8$, $b = 0,6$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби представляет собой формулу разности квадратов:

$ \frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9} = (\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{3})^2 = (\frac{a}{2} - \frac{b}{3})(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ \frac{1}{6} $:

$ \frac{a}{12} + \frac{b}{18} = \frac{1}{6}(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходную дробь:

$ \frac{(\frac{a}{2} - \frac{b}{3})(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})}{\frac{1}{6}(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})} $

Можно сократить выражение на $ (\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $, если оно не равно нулю. Проверим это с заданными значениями $ a = \frac{2}{3} $ и $ b = -\frac{1}{2} $: $ \frac{2/3}{2} + \frac{-1/2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \neq 0 $. Следовательно, сокращение возможно.

После сокращения получаем:

$ \frac{\frac{a}{2} - \frac{b}{3}}{\frac{1}{6}} = 6(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}) = 3a - 2b $

Теперь подставим значения $ a $ и $ b $ в полученное упрощенное выражение:

$ 3a - 2b = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3

б)

Упростим данное выражение. Заметим, что в числителе $ 0.2 = \frac{1}{5} $, поэтому:

$ 0.2a - b = \frac{a}{5} - b $

Знаменатель является разностью квадратов:

$ \frac{a^2}{25} - b^2 = (\frac{a}{5})^2 - b^2 = (\frac{a}{5} - b)(\frac{a}{5} + b) $

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ \frac{\frac{a}{5} - b}{(\frac{a}{5} - b)(\frac{a}{5} + b)} $

Можно сократить выражение на $ (\frac{a}{5} - b) $, если оно не равно нулю. Проверим это с заданными значениями $ a = -8 $ и $ b = 0.6 $: $ \frac{-8}{5} - 0.6 = -1.6 - 0.6 = -2.2 \neq 0 $. Следовательно, сокращение возможно.

После сокращения получаем:

$ \frac{1}{\frac{a}{5} + b} $

Теперь подставим значения $ a = -8 $ и $ b = 0.6 $ в

170. Найдите среднее гармоническое чисел:

а) 3, 5;

б) 2, 4, 8;

в) 5, 10, 15, 20.

Среднее гармоническое нескольких чисел — это число, обратное среднему арифметическому их обратных. Формула для нахождения среднего гармонического $H$ для набора из $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ выглядит так:

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

Применим эту формулу для каждого из пунктов.

Найдём среднее гармоническое для чисел 3 и 5. Здесь количество чисел $n=2$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}$

Сначала вычислим сумму в знаменателе:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{2}{\frac{8}{15}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$

Ответ: $3,75$.

Найдём среднее гармоническое для чисел 2, 4 и 8. Здесь количество чисел $n=3$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}$

Вычислим сумму в знаменателе, приведя дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{3}{\frac{7}{8}} = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

Найдём среднее гармоническое для чисел 5, 10, 15 и 20. Здесь количество чисел $n=4$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{4}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}}$

Вычислим сумму в знаменателе. Наименьший общий знаменатель для 5, 10, 15 и 20 равен 60.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12+6+4+3}{60} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{4}{\frac{5}{12}} = 4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$

Ответ: $9,6$.

172. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?

Для решения задачи необходимо определить производительность (скорость работы) мастера и ученика, а затем их совместную производительность. Примем весь объем одного заказа за 1.

1. Найдем производительность мастера.
Мастер выполняет 1 заказ за 4 часа, следовательно, его производительность $P_м$ равна: $P_м = \frac{1 \text{ заказ}}{4 \text{ часа}} = \frac{1}{4}$ заказа/час.

2. Найдем производительность ученика.
Ученик выполняет 1 заказ за 6 часов, следовательно, его производительность $P_у$ равна: $P_у = \frac{1 \text{ заказ}}{6 \text{ часов}} = \frac{1}{6}$ заказа/час.

3. Найдем их совместную производительность.
При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$, приведя дроби к общему знаменателю 12: $P_{общ} = P_м + P_у = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа/час.

4. Найдем время на выполнение двух заказов.
Общий объем работы $A$ составляет 2 заказа. Время $t$ находится по формуле $t = \frac{A}{P}$. $t = \frac{2}{P_{общ}} = \frac{2}{\frac{5}{12}} = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ часа.

5. Переведем полученное время в часы и минуты.
$\frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ часа. Так как в 1 часе 60 минут, найдем, чему равна дробная часть: $\frac{4}{5} \text{ часа} = \frac{4}{5} \cdot 60 \text{ минут} = 4 \cdot 12 \text{ минут} = 48 \text{ минут}$. Следовательно, общее время составляет 4 часа 48 минут.

Ответ: 4 часа 48 минут.