Номер 165, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 165, страница 42.

165. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

а) $\frac{2 - \frac{a}{x}}{2 + \frac{a}{x}}$

б) $\frac{\frac{a - b}{c} + 3}{\frac{a + b}{c} - 1}$

в) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

г) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}$

а)

Чтобы представить данную многоэтажную дробь в виде отношения многочленов, необходимо упростить числитель и знаменатель, а затем выполнить деление.

Исходное выражение: $\frac{2 - \frac{a}{x}}{2 + \frac{a}{x}}$

1. Приведем к общему знаменателю выражение в числителе:

$2 - \frac{a}{x} = \frac{2x}{x} - \frac{a}{x} = \frac{2x - a}{x}$

2. Приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе:

$2 + \frac{a}{x} = \frac{2x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{2x + a}{x}$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} = \frac{2x - a}{x} \cdot \frac{x}{2x + a}$

4. Сократим общий множитель $x$:

$\frac{2x - a}{2x + a}$

Альтернативный способ решения — умножить числитель и знаменатель исходной дроби на наименьший общий знаменатель всех малых дробей, то есть на $x$:

$\frac{(2 - \frac{a}{x}) \cdot x}{(2 + \frac{a}{x}) \cdot x} = \frac{2 \cdot x - \frac{a}{x} \cdot x}{2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x} = \frac{2x - a}{2x + a}$

Ответ: $\frac{2x - a}{2x + a}$

б)

Исходное выражение: $\frac{\frac{a-b}{c} + 3}{\frac{a+b}{c} - 1}$

1. Упростим числитель, приведя его к общему знаменателю $c$:

$\frac{a-b}{c} + 3 = \frac{a-b}{c} + \frac{3c}{c} = \frac{a-b+3c}{c}$

2. Упростим знаменатель, приведя его к общему знаменателю $c$:

$\frac{a+b}{c} - 1 = \frac{a+b}{c} - \frac{c}{c} = \frac{a+b-c}{c}$

3. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{a-b+3c}{c}}{\frac{a+b-c}{c}} = \frac{a-b+3c}{c} \cdot \frac{c}{a+b-c}$

4. Сократим общий множитель $c$:

$\frac{a-b+3c}{a+b-c}$

Ответ: $\frac{a-b+3c}{a+b-c}$

в)

Исходное выражение: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

1. Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y+x}{xy}$

2. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$

3. Выполним деление:

$\frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x}$

4. Сократим общий множитель $xy$:

$\frac{y+x}{y-x}$

Ответ: $\frac{y+x}{y-x}$

г)

Исходное выражение: $\frac{x-y}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}$

1. Числитель $x-y$ уже является многочленом. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{xy} - \frac{y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

2. Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:

$\frac{x-y}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}$

3. Выполним деление, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$(x-y) \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2}$

4. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя $x^2 - y^2$:

$(x-y) \cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$

5. Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{xy}{x+y}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y}$