Номер 169, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 169, страница 42.

169. (Для работы в парах.) При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{1}{3 - \frac{1}{x - 2}}$;

б) $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x + 8}}$ ?

1) Обсудите, о каких значениях переменной $x$ в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения $x$, которые не являются допустимыми?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

а)

Выражение имеет смысл (определено), когда все знаменатели в нем не равны нулю. В данном выражении $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$ есть два знаменателя, которые могут обратиться в ноль.

1. Знаменатель внутренней дроби, $x-2$. Он не должен быть равен нулю.

$x-2 \neq 0$

$x \neq 2$

Это первое ограничение на значение переменной $x$.

2. Знаменатель основной дроби, $3 - \frac{1}{x-2}$. Он также не должен быть равен нулю.

$3 - \frac{1}{x-2} \neq 0$

Чтобы найти, при каком $x$ этот знаменатель равен нулю, решим уравнение:

$3 = \frac{1}{x-2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем умножить обе части на $(x-2)$:

$3(x-2) = 1$

$3x - 6 = 1$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Следовательно, $x$ не может быть равен $\frac{7}{3}$. Это второе ограничение.

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

Ответ: выражение имеет смысл при $x \neq 2$ и $x \neq \frac{7}{3}$.

б)

Данное выражение имеет смысл, когда все знаменатели в нем не равны нулю. В выражении $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$ также есть два знаменателя.

1. Знаменатель внутренней дроби, $x+8$. Он не должен быть равен нулю.

$x+8 \neq 0$

$x \neq -8$

Это первое ограничение.

2. Знаменатель основной дроби, $2 + \frac{1}{x+8}$. Он также не должен быть равен нулю.

$2 + \frac{1}{x+8} \neq 0$

Найдем значение $x$, при котором этот знаменатель равен нулю:

$2 = -\frac{1}{x+8}$

При условии, что $x \neq -8$, умножим обе части на $(x+8)$:

$2(x+8) = -1$

$2x + 16 = -1$

$2x = -17$

$x = -\frac{17}{2}$

Следовательно, $x$ не может быть равен $-\frac{17}{2}$. Это второе ограничение.

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-8$ и $x=-\frac{17}{2}$.

Ответ: выражение имеет смысл при $x \neq -8$ и $x \neq -\frac{17}{2}$.