Номер 168, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 168, страница 42.

168. Найдите значение выражения:

a) $\frac{\frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9}}{\frac{a}{12} + \frac{b}{18}}$ при $a = \frac{2}{3}$, $b = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{0,2a - b}{\frac{a^2}{25} - b^2}$ при $a = -8$, $b = 0,6$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби представляет собой формулу разности квадратов:

$ \frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9} = (\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{3})^2 = (\frac{a}{2} - \frac{b}{3})(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ \frac{1}{6} $:

$ \frac{a}{12} + \frac{b}{18} = \frac{1}{6}(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходную дробь:

$ \frac{(\frac{a}{2} - \frac{b}{3})(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})}{\frac{1}{6}(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})} $

Можно сократить выражение на $ (\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) $, если оно не равно нулю. Проверим это с заданными значениями $ a = \frac{2}{3} $ и $ b = -\frac{1}{2} $: $ \frac{2/3}{2} + \frac{-1/2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \neq 0 $. Следовательно, сокращение возможно.

После сокращения получаем:

$ \frac{\frac{a}{2} - \frac{b}{3}}{\frac{1}{6}} = 6(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}) = 3a - 2b $

Теперь подставим значения $ a $ и $ b $ в полученное упрощенное выражение:

$ 3a - 2b = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3

б)

Упростим данное выражение. Заметим, что в числителе $ 0.2 = \frac{1}{5} $, поэтому:

$ 0.2a - b = \frac{a}{5} - b $

Знаменатель является разностью квадратов:

$ \frac{a^2}{25} - b^2 = (\frac{a}{5})^2 - b^2 = (\frac{a}{5} - b)(\frac{a}{5} + b) $

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ \frac{\frac{a}{5} - b}{(\frac{a}{5} - b)(\frac{a}{5} + b)} $

Можно сократить выражение на $ (\frac{a}{5} - b) $, если оно не равно нулю. Проверим это с заданными значениями $ a = -8 $ и $ b = 0.6 $: $ \frac{-8}{5} - 0.6 = -1.6 - 0.6 = -2.2 \neq 0 $. Следовательно, сокращение возможно.

После сокращения получаем:

$ \frac{1}{\frac{a}{5} + b} $

Теперь подставим значения $ a = -8 $ и $ b = 0.6 $ в