Номер 164, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 164, страница 41.

164. Упростите выражение:

a) $ \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} $;

б) $ \frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} $;

В) $ \frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}} $;

Г) $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ необходимо преобразовать числитель и знаменатель этой "многоэтажной" дроби. Приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $x$.
Преобразуем числитель: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Преобразуем знаменатель: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде деления двух дробей:
$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1}$.
Сокращаем дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$) и получаем конечный результат.
$\frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{2a-b}{b} + 1}{\frac{2a+b}{b} - 1}$. Упростим отдельно числитель и знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю $b$.
Упростим числитель: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Упростим знаменатель: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.
Это равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\frac{2a}{b} \neq 0$, что означает $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Ответ: $1$

в) Упростим выражение $\frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}}$. Сначала приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основной дроби. Общий знаменатель для них - $x^2y^2$.
Преобразуем числитель: $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Теперь выполним деление полученных выражений:
$\frac{\frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3 - y^3}$.
Сократив на $x^2y^2$ (при $x \neq 0$, $y \neq 0$), получим: $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$.
Ответ: $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$. Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби. В обоих случаях наименьший общий знаменатель - это $abc$.
Преобразуем числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+ac+bc}{abc}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.
Выполним деление:
$\frac{\frac{ab+ac+bc}{abc}}{\frac{a+b+c}{abc}} = \frac{ab+ac+bc}{abc} \cdot \frac{abc}{a+b+c}$.
Сократив на $abc$ (при $a,b,c \neq 0$ и $a+b+c \neq 0$), получим: $\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$.
Ответ: $\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$