Номер 160, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 160, страница 41.

160. Докажите тождество:

a) $ \frac{1,2x^2 - xy}{0,36x^2 - 0,25y^2} = \frac{20x}{6x + 5y} $

б) $ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} = \frac{50}{9a - 8x} $

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Рассмотрим левую часть равенства: $\frac{1.2x^2 - xy}{0.36x^2 - 0.25y^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$1.2x^2 - xy = x(1.2x - y)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 0.6x$ и $B = 0.5y$:
$0.36x^2 - 0.25y^2 = (0.6x)^2 - (0.5y)^2 = (0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(1.2x - y)}{(0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)}$.
В числителе вынесем множитель 2 из выражения в скобках, чтобы получить общий множитель со знаменателем:
$1.2x - y = 2(0.6x - 0.5y)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{x \cdot 2(0.6x - 0.5y)}{(0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(0.6x - 0.5y)$ (при условии, что $0.6x - 0.5y \neq 0$):
$\frac{2x}{0.6x + 0.5y}$.
Чтобы привести полученное выражение к виду правой части тождества, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{2x \cdot 10}{(0.6x + 0.5y) \cdot 10} = \frac{20x}{6x + 5y}$.
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Аналогично докажем второе тождество, преобразовав его левую часть.
Рассмотрим левую часть равенства: $\frac{4.5a + 4x}{0.81a^2 - 0.64x^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 0.9a$ и $B = 0.8x$:
$0.81a^2 - 0.64x^2 = (0.9a)^2 - (0.8x)^2 = (0.9a - 0.8x)(0.9a + 0.8x)$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:
$4.5a + 4x = 5(0.9a + 0.8x)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{5(0.9a + 0.8x)}{(0.9a - 0.8x)(0.9a + 0.8x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(0.9a + 0.8x)$ (при условии, что $0.9a + 0.8x \neq 0$):
$\frac{5}{0.9a - 0.8x}$.
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей и привести выражение к виду правой части:
$\frac{5 \cdot 10}{(0.9a - 0.8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x}$.
Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.