Номер 153, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 153, страница 40.

153. Упростите выражение:

a) $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right);$

б) $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1;$

в) $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right);$

г) $(y^2 - 4) \left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5.$

а) Для упрощения выражения $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right)$ выполним действия по шагам.
1. Заметим, что первый множитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
2. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $a^2-1$ можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a-1+1-(a+1)}{a^2-1} = \frac{a-1+1-a-1}{a^2-1} = \frac{-1}{a^2-1}$.
3. Теперь перемножим результаты первого и второго шагов:
$(a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{a^2-1}\right) = (a+1)^2 \cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)}$.
Сократим дробь на $(a+1)$:
$\frac{(a+1) \cdot (-1)}{a-1} = \frac{-(a+1)}{a-1} = \frac{a+1}{-(a-1)} = \frac{a+1}{1-a}$.
Ответ: $\frac{a+1}{1-a}$.

б) Для упрощения выражения $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1$ выполним действия по порядку.
1. Выполним вычитание в первых скобках:
$1 - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x}{12x} - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x - (9x^2+4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = \frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x}$.
Выражение в числителе является полным квадратом: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Получаем: $\frac{-(3x-2)^2}{12x}$.
2. Выполним вычитание во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $6x$:
$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6x} - \frac{3x}{6x} = \frac{2-3x}{6x}$.
3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Заметим, что $2-3x = -(3x-2)$.
$\frac{-(3x-2)^2}{12x} : \frac{2-3x}{6x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2-3x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x-2)}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на $-(3x-2)$ и $6x$:
$\frac{(3x-2)}{2}$.
4. Добавим 1 к результату:
$\frac{3x-2}{2} + 1 = \frac{3x-2}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3x-2+2}{2} = \frac{3x}{2}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.

в) Для упрощения выражения $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)$ решим по действиям.
1. Упростим выражение в первых скобках. Общий знаменатель $(a-2)(a+2) = a^2-4$:
$\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4 - (2a-4)}{a^2-4} = \frac{2a+4-2a+4}{a^2-4} = \frac{8}{a^2-4}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках:
$a - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a}{4} - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a-(3a+2)}{4} = \frac{4a-3a-2}{4} = \frac{a-2}{4}$.
3. Выполним умножение результатов первых двух шагов:
$\frac{8}{a^2-4} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4}$.
Сокращаем дробь на $(a-2)$ и на 4:
$\frac{2}{a+2}$.
4. Выполним вычитание:
$1 - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2}{a+2} - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2-2}{a+2} = \frac{a}{a+2}$.
Ответ: $\frac{a}{a+2}$.

г) Для упрощения выражения $(y^2 - 4)\left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5$ решим по действиям.
1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-2) = y^2-4$:
$\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{3y-6-(2y+4)}{y^2-4} = \frac{3y-6-2y-4}{y^2-4} = \frac{y-10}{y^2-4}$.
2. Теперь выполним умножение:
$(y^2-4) \cdot \frac{y-10}{y^2-4}$.
Сократим множитель $(y^2-4)$ и знаменатель дроби:
$y-10$.
3. Наконец, выполним сложение:
$(y-10) + 5 = y-5$.
Ответ: $y-5$.