Номер 149, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 149, страница 39.

149. Выполните действия:

а) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1};$

б) $(\frac{5y^2}{1-y^2}) : (1 - \frac{1}{1-y});$

в) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2};$

г) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x + \frac{x}{2-x}).$

а) Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем 1 к общему знаменателю $x+1$:
$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}.$
Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1}.$
Так как $1+x = x+1$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}.$
Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}.$

б) Сначала выполним действие во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $1-y$:
$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}.$
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{1-y^2} \cdot \frac{1-y}{-y}.$
Разложим знаменатель $1-y^2$ по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.
$\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}.$
Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:
$\frac{5y^{\cancel{2}1}}{(\cancel{1-y})(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y}.$
Ответ: $-\frac{5y}{1+y}.$

в) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:
$\frac{4a}{2-a} - a = \frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a - a^2)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a}.$
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2+2a}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a^2+2a}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2}.$
Вынесем общий множитель в числителе $a^2+2a = a(a+2)$. Также заметим, что $a-2 = -(2-a)$.
$\frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{-(2-a)}{a+2}.$
Сократим общие множители $(a+2)$ и $(2-a)$:
$\frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{2-a}} \cdot \frac{-(\cancel{2-a})}{\cancel{a+2}} = a \cdot (-1) = -a.$
Ответ: $-a.$

г) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $2-x$:
$x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x-x^2+x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x}.$
Теперь выполним умножение:
$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{3x-x^2}{2-x}.$
Вынесем общий множитель в числителе $3x-x^2 = x(3-x)$. Заметим, что $x(3-x) = -x(x-3)$ и $x-2 = -(2-x)$.
$\frac{-(2-x)}{x-3} \cdot \frac{-x(x-3)}{2-x}.$
Сократим общие множители $(x-3)$ и $(2-x)$:
$\frac{(-1)(\cancel{2-x}) \cdot (-x)(\cancel{x-3})}{(\cancel{x-3}) \cdot (\cancel{2-x})} = (-1)(-x) = x.$
Ответ: $x.$