Номер 142, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 142, страница 35.

142. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 + ax + x^2}{x-1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1}$

б) $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p+3}{2p-4}$

а) Чтобы упростить данное выражение, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, а затем разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} $

Заменяем деление на умножение:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3} $

Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$ и числитель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (a^2 + ax + x^2) $ и $ (x - 1) $.

$ \frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} $

В результате получаем:

$ \frac{x + 1}{a - x} $

Ответ: $ \frac{x + 1}{a - x} $.

б) Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, а затем выполним умножение.

Исходное выражение:

$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{p + 3}{2p - 4} $

Разложим на множители числитель первой дроби: $ ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3) $ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4) $ (формула разности кубов).

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 2p - 4 = 2(p - 2) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{p + 3}{2(p - 2)} $

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)(p + 3)}{2(p - 2)(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} $

Сгруппируем одинаковые множители в виде степеней:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)^2}{2(p - 2)^2(p^2 + 2p + 4)} $

Так как в полученной дроби нет общих множителей в числителе и знаменателе, дальнейшее сокращение невозможно. Это и есть упрощенное выражение.

Ответ: $ \frac{a(p - 3)(p + 3)^2}{2(p - 2)^2(p^2 + 2p + 4)} $.