Страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

139. Выполните действие:

а) $\frac{x^2 - xy}{9y^2} : \frac{2x}{3y}$;

б) $\frac{2a^3 - a^2b}{36b^2} : \frac{2a - b}{9b^3}$;

в) $(m^2 - 16n^2) : \frac{3m + 12n}{mn}$;

г) $\frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} \cdot \frac{1 - 3p}{3p - 6}$.

а) Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, по возможности, разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители.

$\frac{x^2 - xy}{9y^2} : \frac{2x}{3y} = \frac{x^2 - xy}{9y^2} \cdot \frac{3y}{2x}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе первой дроби:

$\frac{x(x-y)}{9y^2} \cdot \frac{3y}{2x}$

Теперь сократим общие множители $x$, $3$ и $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{x}(x-y)}{3 \cdot \cancel{3y} \cdot y} \cdot \frac{\cancel{3y}}{2\cancel{x}} = \frac{x-y}{3y \cdot 2} = \frac{x-y}{6y}$

Ответ: $\frac{x-y}{6y}$

б) Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{2a^3 - a^2b}{36b^2} : \frac{2a - b}{9b^3} = \frac{2a^3 - a^2b}{36b^2} \cdot \frac{9b^3}{2a - b}$

Вынесем общий множитель $a^2$ в числителе первой дроби:

$\frac{a^2(2a - b)}{36b^2} \cdot \frac{9b^3}{2a - b}$

Сократим общие множители $(2a-b)$, $9$ и $b^2$:

$\frac{a^2\cancel{(2a-b)}}{4 \cdot \cancel{9b^2}} \cdot \frac{\cancel{9b^2} \cdot b}{\cancel{(2a-b)}} = \frac{a^2 \cdot b}{4} = \frac{a^2b}{4}$

Ответ: $\frac{a^2b}{4}$

в) Представим выражение $(m^2 - 16n^2)$ в виде дроби $\frac{m^2-16n^2}{1}$ и заменим деление на умножение:

$(m^2 - 16n^2) : \frac{3m + 12n}{mn} = \frac{m^2 - 16n^2}{1} \cdot \frac{mn}{3m + 12n}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $3$:

$m^2 - 16n^2 = (m-4n)(m+4n)$

$3m + 12n = 3(m+4n)$

Подставим и сократим:

$\frac{(m-4n)(m+4n)}{1} \cdot \frac{mn}{3(m+4n)} = \frac{(m-4n)\cancel{(m+4n)}}{1} \cdot \frac{mn}{3\cancel{(m+4n)}} = \frac{mn(m-4n)}{3}$

Ответ: $\frac{mn(m-4n)}{3}$

г) Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} : \frac{1 - 3p}{3p - 6} = \frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} \cdot \frac{3p - 6}{1 - 3p}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

$9p^2 - 1 = (3p-1)(3p+1)$ (разность квадратов)

$pq - 2q = q(p-2)$

$3p - 6 = 3(p-2)$

$1 - 3p = -(3p-1)$

Подставим полученные выражения в пример и сократим общие множители:

$\frac{(3p-1)(3p+1)}{q(p-2)} \cdot \frac{3(p-2)}{-(3p-1)} = \frac{\cancel{(3p-1)}(3p+1)}{q\cancel{(p-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(p-2)}}{-\cancel{(3p-1)}} = \frac{3(3p+1)}{-q} = -\frac{3(3p+1)}{q}$

Ответ: $-\frac{3(3p+1)}{q}$

141. Выполните деление:

а) $\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2}$

б) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2}$

а) $ \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} $

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{5x + 10y} $

Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы можно было выполнить сокращение. Для этого используем метод вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения:

• Числитель первой дроби: $ 3x + 6y = 3(x + 2y) $
• Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
• Числитель второй дроби (квадрат разности): $ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 $
• Знаменатель второй дроби: $ 5x + 10y = 5(x + 2y) $

Подставим полученные выражения в наше произведение:

$ \frac{3(x + 2y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^2}{5(x + 2y)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(x + 2y)$ есть и вверху, и внизу. Множитель $(x - y)$ также есть и вверху (в квадрате), и внизу.

$ \frac{3\cancel{(x + 2y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x + 2y)}} = \frac{3(x - y)}{5(x + y)} $

Ответ: $ \frac{3(x-y)}{5(x+y)} $

б) $ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения:

• Числитель первой дроби (квадрат суммы): $ a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 $
• Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ 16 - b^4 = (4)^2 - (b^2)^2 = (4 - b^2)(4 + b^2) $
• Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $ 4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a) $
• Числитель второй дроби $ 4 + b^2 $ является суммой квадратов и не раскладывается на множители в действительных числах.

Подставим разложенные на множители выражения в пример:

$ \frac{(a + 2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)} $

Сократим общие множители. Множитель $(4 + b^2)$ есть в числителе и знаменателе. Множитель $(a+2)$ есть в числителе (в квадрате) и в знаменателе (как $(2+a)$).

$ \frac{(a + 2)^{\cancel{2}}}{(4 - b^2)\cancel{(4 + b^2)}} \cdot \frac{\cancel{4 + b^2}}{(2 - a)\cancel{(a + 2)}} = \frac{a + 2}{(4 - b^2)(2 - a)} $

Ответ: $ \frac{a+2}{(4-b^2)(2-a)} $

143. Из формулы $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} $ выразите:

а) переменную c через a и b;

б) переменную b через a и c.

а) Чтобы выразить переменную $c$ через $a$ и $b$ из формулы $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$, выполним следующие действия:

1. Сложим дроби в левой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

2. Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{c}$

3. Перед нами пропорция. Чтобы найти $c$, мы можем "перевернуть" обе части уравнения (то есть найти обратные величины для каждой из частей):

$c = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $c = \frac{ab}{a+b}$

б) Чтобы выразить переменную $b$ через $a$ и $c$ из той же формулы $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$, поступим следующим образом:

1. Изолируем слагаемое, содержащее переменную $b$, в одной части уравнения. Для этого перенесем $\frac{1}{a}$ из левой части в правую, изменив знак:

$\frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{a}$

2. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $ac$:

$\frac{1}{b} = \frac{a}{ac} - \frac{c}{ac} = \frac{a-c}{ac}$

3. Теперь, чтобы найти $b$, "перевернем" обе части полученного уравнения:

$b = \frac{ac}{a-c}$

Ответ: $b = \frac{ac}{a-c}$

138. Выполните деление:

а) $ \frac{m^2 - 3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x}; $

б) $ \frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab - b^2}; $

в) $ \frac{x^2 + x^3}{11a^2} : \frac{4 + 4x}{a^3}; $

г) $ \frac{6ax}{m^2 - 2m} : \frac{8ax}{3m - 6}; $

д) $ \frac{a^2 - 3ab}{3b} : (7a - 21b); $

е) $ (x^2 - 4y^2) : \frac{5x - 10y}{x}; $

ж) $ (2a - b)^2 : \frac{4a^3 - ab^2}{3}; $

з) $ (10m - 15n) : \frac{(2m - 3n)^2}{2m}. $

а) Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, по возможности, разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители.

$\frac{m^2-3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x} = \frac{m^2-3m}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Вынесем общий множитель $m$ в числителе первой дроби:

$\frac{m(m-3)}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Сократим общие множители $m$, $8$ и $x$:

$\frac{\cancel{m}(m-3)}{\cancel{8}x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{8}\cancel{x}}{3\cancel{m}} = \frac{m-3}{3x}$

Ответ: $\frac{m-3}{3x}$

б) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b$ за скобки.

$\frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab-b^2} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{ab-b^2}{a^3} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{b(a-b)}{a^3}$

Сократим общие множители $a^2$ и $b$:

$\frac{5\cancel{a^2}}{6b^{\cancel{3}2}} \cdot \frac{\cancel{b}(a-b)}{\cancel{a^3}a} = \frac{5(a-b)}{6ab^2}$

Ответ: $\frac{5(a-b)}{6ab^2}$

в) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{x^2+x^3}{11a^2} : \frac{4+4x}{a^3} = \frac{x^2(1+x)}{11a^2} \cdot \frac{a^3}{4(1+x)}$

Сократим общие множители $(1+x)$ и $a^2$:

$\frac{x^2\cancel{(1+x)}}{11\cancel{a^2}} \cdot \frac{\cancel{a^3}a}{4\cancel{(1+x)}} = \frac{x^2 \cdot a}{11 \cdot 4} = \frac{ax^2}{44}$

Ответ: $\frac{ax^2}{44}$

г) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{6ax}{m^2-2m} : \frac{8ax}{3m-6} = \frac{6ax}{m(m-2)} \cdot \frac{3(m-2)}{8ax}$

Сократим общие множители $ax$, $(m-2)$, а также числовые коэффициенты 6 и 8 (на 2):

$\frac{\cancel{6}^3 \cancel{ax}}{m\cancel{(m-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(m-2)}}{\cancel{8}^4 \cancel{ax}} = \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 4} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

д) Представим выражение $(7a-21b)$ в виде дроби со знаменателем 1. Затем заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{a^2-3ab}{3b} : (7a-21b) = \frac{a^2-3ab}{3b} : \frac{7a-21b}{1} = \frac{a^2-3ab}{3b} \cdot \frac{1}{7a-21b}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$\frac{a(a-3b)}{3b} \cdot \frac{1}{7(a-3b)}$

Сократим общий множитель $(a-3b)$:

$\frac{a\cancel{(a-3b)}}{3b} \cdot \frac{1}{7\cancel{(a-3b)}} = \frac{a}{21b}$

Ответ: $\frac{a}{21b}$

е) Представим выражение $(x^2-4y^2)$ в виде дроби со знаменателем 1. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

$(x^2-4y^2) : \frac{5x-10y}{x} = \frac{x^2-4y^2}{1} \cdot \frac{x}{5x-10y}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель второй дроби вынесением общего множителя:

$\frac{(x-2y)(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5(x-2y)}$

Сократим общий множитель $(x-2y)$:

$\frac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5\cancel{(x-2y)}} = \frac{x(x+2y)}{5}$

Ответ: $\frac{x(x+2y)}{5}$

ж) Представим выражение $(2a-b)^2$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь.

$(2a-b)^2 : \frac{4a^3-ab^2}{3} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{4a^3-ab^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители (вынесение $a$ и формула разности квадратов):

$\frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(4a^2-b^2)} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(2a-b)(2a+b)}$

Сократим общий множитель $(2a-b)$:

$\frac{(2a-b)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{a\cancel{(2a-b)}(2a+b)} = \frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

Ответ: $\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

з) Представим выражение $(10m-15n)$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь.

$(10m-15n) : \frac{(2m-3n)^2}{2m} = \frac{10m-15n}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Вынесем общий множитель в первом числителе:

$\frac{5(2m-3n)}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Сократим общий множитель $(2m-3n)$:

$\frac{5\cancel{(2m-3n)}}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot 2m}{2m-3n} = \frac{10m}{2m-3n}$

Ответ: $\frac{10m}{2m-3n}$

140. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2)$, если $x = 2,5; -1;$

б) $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$, если $a = 26, b = -12.$

а) Сначала упростим выражение $\frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2)$.

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное делителю:

$\frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2) = \frac{4x^2 - 4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x - 2}$

Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $4x^2 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель $4x$. В выражении $2x - 2$ вынесем за скобки $2$.

$4x^2 - 4x = 4x(x-1)$

$2x - 2 = 2(x-1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$\frac{4x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)}$

Сократим общие множители $2$ и $(x-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$):

$\frac{4x(x-1)}{x+3 \cdot 2(x-1)} = \frac{2x}{x+3}$

Теперь найдем значение упрощенного выражения для каждого значения $x$.

1. При $x = 2,5$:

$\frac{2 \cdot 2,5}{2,5 + 3} = \frac{5}{5,5} = \frac{50}{55} = \frac{10}{11}$

2. При $x = -1$:

$\frac{2 \cdot (-1)}{-1 + 3} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $\frac{10}{11}$; $-1$.

б) Сначала упростим выражение $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$(3a + 6b) \cdot \frac{a+b}{2a^2 - 8b^2}$

Разложим на множители выражение в первых скобках и знаменатель дроби. В выражении $3a+6b$ вынесем за скобки $3$. В знаменателе $2a^2 - 8b^2$ вынесем за скобки $2$.

$3a + 6b = 3(a+2b)$

$2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2)$

Выражение $a^2 - 4b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2 - (2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$.

Значит, $2a^2 - 8b^2 = 2(a-2b)(a+2b)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно:

$3(a+2b) \cdot \frac{a+b}{2(a-2b)(a+2b)}$

Сократим общий множитель $(a+2b)$ (при условии, что $a+2b \neq 0$):

$\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}$

Теперь подставим значения $a=26$ и $b=-12$ в упрощенное выражение. Проверим, что сокращение было возможно: $a+2b = 26 + 2(-12) = 26 - 24 = 2 \neq 0$.

$\frac{3(26 + (-12))}{2(26 - 2(-12))} = \frac{3(26-12)}{2(26+24)} = \frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42$

Ответ: $0,42$.

142. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 + ax + x^2}{x-1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1}$

б) $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p+3}{2p-4}$

а) Чтобы упростить данное выражение, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, а затем разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} $

Заменяем деление на умножение:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3} $

Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$ и числитель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (a^2 + ax + x^2) $ и $ (x - 1) $.

$ \frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} $

В результате получаем:

$ \frac{x + 1}{a - x} $

Ответ: $ \frac{x + 1}{a - x} $.

б) Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, а затем выполним умножение.

Исходное выражение:

$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{p + 3}{2p - 4} $

Разложим на множители числитель первой дроби: $ ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3) $ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4) $ (формула разности кубов).

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 2p - 4 = 2(p - 2) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{p + 3}{2(p - 2)} $

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)(p + 3)}{2(p - 2)(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} $

Сгруппируем одинаковые множители в виде степеней:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)^2}{2(p - 2)^2(p^2 + 2p + 4)} $

Так как в полученной дроби нет общих множителей в числителе и знаменателе, дальнейшее сокращение невозможно. Это и есть упрощенное выражение.

Ответ: $ \frac{a(p - 3)(p + 3)^2}{2(p - 2)^2(p^2 + 2p + 4)} $.

144. Выполните действия:

a) $ \frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}; $

б) $ \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2} + \frac{2b}{a^2+2ab} - \frac{b}{ac-3a^2}. $

а)

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель второй дроби: $3-2b = -(2b-3)$.

Знаменатель третьей дроби - это формула разности квадратов: $4b^2-9 = (2b)^2 - 3^2 = (2b-3)(2b+3)$.

Перепишем исходное выражение $\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}$, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{-(2b-3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{2b}{2b+3} + \frac{5}{2b-3} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$

Общий знаменатель для всех трех дробей - это $(2b-3)(2b+3)$. Приведем все дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{2b(2b-3)}{(2b+3)(2b-3)} + \frac{5(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно выполнить действия с числителями:

$\frac{2b(2b-3) + 5(2b+3) - (4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$\frac{4b^2 - 6b + 10b + 15 - 4b^2 - 9}{(2b-3)(2b+3)}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(4b^2 - 4b^2) + (-6b + 10b) + (15 - 9)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2b+3)$:

$\frac{2}{2b-3}$

Ответ: $\frac{2}{2b-3}$

б)

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ac+2bc-6ab-3a^2$. Сгруппируем слагаемые: $(ac+2bc) - (6ab+3a^2) = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2+2ab = a(a+2b)$.

Знаменатель третьей дроби: $ac-3a^2 = a(c-3a)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b}{a(a+2b)} - \frac{b}{a(c-3a)}$

Наименьший общий знаменатель равен $a(a+2b)(c-3a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, определив дополнительные множители:

Для первой дроби: $a$.

Для второй дроби: $(c-3a)$.

Для третьей дроби: $(a+2b)$.

$\frac{a(c+6b)}{a(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)} - \frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Выполним действия с числителями, записав их над общим знаменателем:

$\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ac + 6ab + 2bc - 6ab - ab - 2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{ac + 2bc - ab - 2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$ac + 2bc - ab - 2b^2 = (ac+2bc) - (ab+2b^2) = c(a+2b) - b(a+2b) = (a+2b)(c-b)$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2b)$:

$\frac{c-b}{a(c-3a)}$

Ответ: $\frac{c-b}{a(c-3a)}$