Страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

145. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после выхода лодки у неё испортился мотор, и её течением через 3 ч принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, основанное на том, что расстояние, пройденное лодкой от пристани, равно расстоянию, пройденному ею обратно к пристани.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

1. Движение лодки против течения

Собственная скорость лодки равна $10$ км/ч. Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:
$V_{против} = 10 - x$ км/ч.

Лодка двигалась против течения в течение 45 минут. Переведем это время в часы:
$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

За это время лодка отплыла от пристани на расстояние $S_1$, которое можно найти по формуле $S = V \times t$:
$S_1 = (10 - x) \times \frac{3}{4}$ км.

2. Возвращение лодки к пристани

После поломки мотора лодка дрейфовала по течению. Ее скорость в этом случае была равна скорости течения реки:
$V_{по} = x$ км/ч.

Время возвращения к пристани составило $t_2 = 3$ ч.

За это время лодка прошла расстояние $S_2$:
$S_2 = x \times 3$ км.

3. Составление и решение уравнения

Поскольку лодка вернулась в исходную точку (к пристани), расстояние, которое она проплыла от пристани, равно расстоянию, которое она проплыла обратно. Следовательно, $S_1 = S_2$.
Приравняем выражения для этих расстояний:
$(10 - x) \times \frac{3}{4} = 3x$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \times (10 - x) = 4 \times (3x)$
Раскроем скобки:
$30 - 3x = 12x$
Перенесем все члены с $x$ в правую часть уравнения:
$30 = 12x + 3x$
$30 = 15x$
Найдем $x$:
$x = \frac{30}{15}$
$x = 2$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

147. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = kx$, если $k > 0$? если $k < 0$?

Функция $y = kx$ — это прямая пропорциональность. Ее график — это прямая линия, которая всегда проходит через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$). Угловой коэффициент $k$ определяет наклон этой прямой и, соответственно, координатные четверти, в которых она расположена.

Вспомним знаки координат $(x, y)$ по четвертям:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

если $k > 0$

В этом случае коэффициент $k$ является положительным числом. Из уравнения $y = kx$ следует, что знаки переменных $x$ и $y$ будут совпадать.

• Если мы берем положительное значение $x$ ($x > 0$), то $y = kx$ также будет положительным ($y > 0$), так как произведение двух положительных чисел положительно. Точки с такими координатами ($x > 0, y > 0$) лежат в I координатной четверти.
• Если мы берем отрицательное значение $x$ ($x < 0$), то $y = kx$ также будет отрицательным ($y < 0$), так как произведение положительного числа на отрицательное отрицательно. Точки с такими координатами ($x < 0, y < 0$) лежат в III координатной четверти.

Таким образом, при $k > 0$ график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: в I и III координатных четвертях.

если $k < 0$

В этом случае коэффициент $k$ является отрицательным числом. Из уравнения $y = kx$ следует, что знаки переменных $x$ и $y$ будут противоположными.

• Если мы берем положительное значение $x$ ($x > 0$), то $y = kx$ будет отрицательным ($y < 0$), так как произведение отрицательного числа на положительное отрицательно. Точки с такими координатами ($x > 0, y < 0$) лежат в IV координатной четверти.
• Если мы берем отрицательное значение $x$ ($x < 0$), то $y = kx$ будет положительным ($y > 0$), так как произведение двух отрицательных чисел положительно. Точки с такими координатами ($x < 0, y > 0$) лежат во II координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: во II и IV координатных четвертях.

146. Из формулы $y=\frac{ab}{2c}$ выразите:

а) переменную $c$ через $a, b$ и $y$;

б) переменную $a$ через $b, c$ и $y$.

а) переменную c через a, b и y;

Исходная формула: $y = \frac{ab}{2c}$.

Наша задача — выразить переменную c. Для этого необходимо выполнить алгебраические преобразования, чтобы c осталась одна в левой части уравнения.

1. Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $2c$. Это возможно при условии, что $c \neq 0$. $y \cdot 2c = \frac{ab}{2c} \cdot 2c$

2. После упрощения получим: $2yc = ab$

3. Теперь, чтобы выделить c, разделим обе части уравнения на $2y$. Это возможно при условии, что $y \neq 0$. $\frac{2yc}{2y} = \frac{ab}{2y}$

4. В результате получаем искомое выражение для c: $c = \frac{ab}{2y}$

Ответ: $c = \frac{ab}{2y}$

б) переменную a через b, c и y.

Исходная формула: $y = \frac{ab}{2c}$.

Теперь наша задача — выразить переменную a.

1. Как и в предыдущем пункте, умножим обе части уравнения на $2c$, чтобы избавиться от дроби. $y \cdot 2c = ab$

2. Мы получили равенство $2yc = ab$. Переменная a находится в правой части, умноженная на b.

3. Чтобы выделить a, разделим обе части уравнения на b. Это возможно при условии, что $b \neq 0$. $\frac{2yc}{b} = \frac{ab}{b}$

4. В результате получаем искомое выражение для a: $a = \frac{2yc}{b}$

Ответ: $a = \frac{2yc}{b}$