Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

123. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a};$

б) $\frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 - 4c^2};$

в) $\frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9};$

г) $\frac{(5 - y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10}.$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} $.
Для упрощения этого выражения, сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители.
Числитель первой дроби, $ a^2-1 $, является разностью квадратов: $ a^2-1 = (a-1)(a+1) $.
Числитель второй дроби, $ 7a-7b $, упрощается вынесением общего множителя 7: $ 7a-7b = 7(a-b) $.
Знаменатель второй дроби, $ a^2+a $, упрощается вынесением общего множителя a: $ a^2+a = a(a+1) $.
Знаменатель первой дроби, $ a-b $, уже представлен в простейшем виде.
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} $
Теперь перемножим дроби, объединив числители и знаменатели:
$ \frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b)}{(a-b) \cdot a(a+1)} $
Сократим общие множители $ (a-b) $ и $ (a+1) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{7(a-1)}{a} $
Это и есть окончательный вид дроби.

Ответ: $ \frac{7(a-1)}{a} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{b^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Числитель первой дроби: $ b^2+2bc = b(b+2c) $.
Числитель второй дроби: $ 5b+15 = 5(b+3) $.
Знаменатель первой дроби, $ b+3 $, уже упрощен.
Знаменатель второй дроби, $ b^2-4c^2 $, является разностью квадратов: $ b^2-(2c)^2 = (b-2c)(b+2c) $.
Подставим разложенные выражения в исходное произведение:
$ \frac{b(b+2c)}{b+3} \cdot \frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{b(b+2c) \cdot 5(b+3)}{(b+3) \cdot (b-2c)(b+2c)} $
Сократим общие множители $ (b+3) $ и $ (b+2c) $:
$ \frac{5b}{b-2c} $

Ответ: $ \frac{5b}{b-2c} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{(x+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{3x+9} $.
Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: $ (x+3)^2 = (x+3)(x+3) $.
Знаменатель первой дроби: $ 2x-4 = 2(x-2) $.
Числитель второй дроби (разность квадратов): $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Знаменатель второй дроби: $ 3x+9 = 3(x+3) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(x+3)(x+3)}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{(x+3)(x+3)(x-2)(x+2)}{2(x-2) \cdot 3(x+3)} $
Сократим общие множители $ (x+3) $ и $ (x-2) $:
$ \frac{(x+3)(x+2)}{2 \cdot 3} $
Упростим знаменатель:
$ \frac{(x+3)(x+2)}{6} $

Ответ: $ \frac{(x+3)(x+2)}{6} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{(5-y)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} $.
Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: $ (5-y)^2 $. Заметим, что $ (5-y)^2 = (-(y-5))^2 = (y-5)^2 $.
Знаменатель первой дроби: $ 2y+12 = 2(y+6) $.
Числитель второй дроби (разность квадратов): $ y^2-36 = (y-6)(y+6) $.
Знаменатель второй дроби: $ 2y-10 = 2(y-5) $.
Подставим разложенные выражения, используя $ (y-5)^2 $ для удобства сокращения:
$ \frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{(y-5)(y-5)(y-6)(y+6)}{2(y+6) \cdot 2(y-5)} $
Сократим общие множители $ (y+6) $ и один из множителей $ (y-5) $:
$ \frac{(y-5)(y-6)}{2 \cdot 2} $
Упростим знаменатель:
$ \frac{(y-5)(y-6)}{4} $

Ответ: $ \frac{(y-5)(y-6)}{4} $

125. Выполните умножение:

а) $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a} \cdot \frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2} $

б) $ \frac{bx + 3b}{x^2 - 25} \cdot \frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a} $

а) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо разложить на множители числители и знаменатели каждой дроби, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a} \cdot \frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2} $.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$a^2 - 3a = a(a - 3)$.

3. Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$2a - 6 = 2(a - 3)$.

4. Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ (предварительно поменяв слагаемые местами):
$b^2 + 2ab + a^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - 3)} \cdot \frac{2(a - 3)}{(a + b)^2} $

Произведем умножение и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a-3)$ и одну степень $(a+b)$:

$ \frac{(a - b)\cancel{(a + b)} \cdot 2\cancel{(a - 3)}}{a\cancel{(a - 3)} \cdot (a + b)^{\cancel{2}}} = \frac{(a-b) \cdot 2}{a \cdot (a+b)} = \frac{2(a - b)}{a(a + b)} $

Ответ: $ \frac{2(a - b)}{a(a + b)} $.

б) Выполним умножение, действуя по тому же алгоритму: разложение на множители и сокращение.

Исходное выражение: $ \frac{bx + 3b}{x^2 - 25} \cdot \frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a} $.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки:
$bx + 3b = b(x + 3)$.

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

3. Разложим на множители числитель второй дроби, используя формулу квадрата разности $y^2 - 2xy + x^2 = (y - x)^2$ (или $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$):
$25 - 10x + x^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = (5 - x)^2$. Так как $(5 - x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$, для удобства сокращения будем использовать запись $(x-5)^2$.

4. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$ax + 3a = a(x + 3)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{b(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{(x - 5)^2}{a(x + 3)} $

Произведем умножение и сократим одинаковые множители $(x+3)$ и одну степень $(x-5)$:

$ \frac{b\cancel{(x + 3)} \cdot (x - 5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 5)}(x + 5) \cdot a\cancel{(x + 3)}} = \frac{b(x - 5)}{a(x + 5)} $

Ответ: $ \frac{b(x - 5)}{a(x + 5)} $.

127. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10};$

б) $\frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a};$

в) $\frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10};$

г) $\frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4}.$

а) Для упрощения выражения $ \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10} $ необходимо разложить числители и знаменатели на множители.
1. Числитель первой дроби $ x^2 - 10x + 25 $ — это формула квадрата разности: $ (x-5)^2 $.
2. Знаменатель первой дроби $ 3x + 12 $: выносим общий множитель 3 за скобки, получаем $ 3(x+4) $.
3. Числитель второй дроби $ x^2 - 16 $ — это формула разности квадратов: $ (x-4)(x+4) $.
4. Знаменатель второй дроби $ 2x - 10 $: выносим общий множитель 2 за скобки, получаем $ 2(x-5) $.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$ \frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)} $
Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (x-5) $ в числителе и знаменателе, а также множитель $ (x+4) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(x+4)}} \cdot \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{2\cancel{(x-5)}} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6} $
Ответ: $ \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

б) Упростим выражение $ \frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $. Разложим на множители:
1. $ 1 - a^2 = (1-a)(1+a) $ (разность квадратов).
2. $ 4a + 8b = 4(a+2b) $ (вынесение общего множителя).
3. $ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 $ (квадрат суммы).
4. $ 3 - 3a = 3(1-a) $ (вынесение общего множителя).
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(1-a)(1+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)} $
Сокращаем общие множители $ (1-a) $ и $ (a+2b) $:
$ \frac{\cancel{(1-a)}(1+a)}{4\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{(a+2b)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(1-a)}} = \frac{(1+a)(a+2b)}{4 \cdot 3} = \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $
Ответ: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

в) Упростим выражение $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $. Разложим на множители:
1. $ y^2 - 25 = (y-5)(y+5) $ (разность квадратов).
2. $ y^2 + 12y + 36 = (y+6)^2 $ (квадрат суммы).
3. $ 3y + 18 = 3(y+6) $ (вынесение общего множителя).
4. $ 2y + 10 = 2(y+5) $ (вынесение общего множителя).
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)} $
Сокращаем общие множители $ (y+5) $ и $ (y+6) $:
$ \frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{(y+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+5)}} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $
Ответ: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

г) Упростим выражение $ \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} $. Разложим на множители:
1. $ b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2-2b+4) $ (сумма кубов).
2. $ 18b^2 + 27b = 9b(2b+3) $ (вынесение общего множителя).
3. Выражение $ 2b+3 $ не раскладывается.
4. Выражение $ b^2 - 2b + 4 $ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(b+2)(b^2-2b+4)}{9b(2b+3)} \cdot \frac{2b+3}{b^2-2b+4} $
Сокращаем общие множители $ (b^2-2b+4) $ и $ (2b+3) $:
$ \frac{(b+2)\cancel{(b^2-2b+4)}}{9b\cancel{(2b+3)}} \cdot \frac{\cancel{2b+3}}{\cancel{b^2-2b+4}} = \frac{b+2}{9b} $
Ответ: $ \frac{b+2}{9b} $.

129. Упростите выражение:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a^2 - ab + bc - ac} + \frac{a + 3b}{b - a} + \frac{a + 2c}{a - c}.$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого выполним следующие шаги.

Шаг 1: Преобразование знаменателей

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя метод группировки:

$a^2 - ab + bc - ac = (a^2 - ab) + (bc - ac) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$

Знаменатель второй дроби $b - a$ можно представить как $-(a - b)$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{a + 3b}{-(a - b)} + \frac{a + 2c}{a - c}$

Изменим знак второй дроби, вынеся минус перед дробью:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{a + 2c}{a - c}$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общим знаменателем для всех трех дробей является выражение $(a - b)(a - c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю, домножив вторую дробь на $(a-c)$, а третью на $(a-b)$:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{(a + 3b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$

Шаг 3: Объединение дробей и раскрытие скобок

Теперь объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2 - 4ac + 3bc) - (a + 3b)(a - c) + (a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$

Раскроем скобки в числителе, помня о знаке минус перед второй группой слагаемых:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - (a^2 - ac + 3ab - 3bc) + (a^2 - ab + 2ac - 2bc)}{(a - b)(a - c)}$

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - a^2 + ac - 3ab + 3bc + a^2 - ab + 2ac - 2bc}{(a - b)(a - c)}$

Шаг 4: Упрощение числителя

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - a^2 + a^2) + (-4ac + ac + 2ac) + (3bc + 3bc - 2bc) + (-3ab - ab) = a^2 - ac + 4bc - 4ab$

Теперь разложим полученный числитель на множители методом группировки:

$a^2 - ac - 4ab + 4bc = (a^2 - ac) - (4ab - 4bc) = a(a - c) - 4b(a - c) = (a - c)(a - 4b)$

Шаг 5: Завершение упрощения

Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - c)(a - 4b)}{(a - b)(a - c)}$

Сократим общий множитель $(a - c)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq c$):

$\frac{a - 4b}{a - b}$

Ответ: $\frac{a - 4b}{a - b}$

122. Упростите выражение:

а) $\frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12};$

б) $\frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2}.$

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12} $, выполним следующие действия:

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. Выражение $y^2-16$ является разностью квадратов, поэтому $y^2-16 = (y-4)(y+4)$. В выражении $3y+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3y+12 = 3(y+4)$.

2. Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение: $ \frac{(y-4)(y+4)}{10xy} \cdot \frac{5y}{3(y+4)} $

3. Запишем это как одну дробь, перемножив числители и знаменатели: $ \frac{(y-4)(y+4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3(y+4)} $

4. Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $(y+4)$, $y$ и $5$.

• Сокращаем $(y+4)$: $ \frac{(y-4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3} $
• Сокращаем $y$: $ \frac{(y-4) \cdot 5}{10x \cdot 3} $
• Сокращаем 5 и 10. В числителе остается 1, в знаменателе 2: $ \frac{(y-4) \cdot 1}{2x \cdot 3} $

5. Перемножим оставшиеся множители: $ \frac{y-4}{6x} $

Ответ: $ \frac{y-4}{6x} $

б)

Чтобы упростить выражение $ \frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2} $, выполним следующие действия:

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $b-a$ вынесем за скобки $-1$: $b-a = -(a-b)$. Знаменатель $a^2-b^2$ является разностью квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение: $ \frac{-(a-b)}{a} \cdot \frac{3ab}{(a-b)(a+b)} $

3. Запишем это как одну дробь: $ \frac{-(a-b) \cdot 3ab}{a \cdot (a-b)(a+b)} $

4. Сократим общие множители $(a-b)$ и $a$ в числителе и знаменателе:

• Сокращаем $(a-b)$: $ \frac{-1 \cdot 3ab}{a(a+b)} $
• Сокращаем $a$: $ \frac{-3b}{a+b} $

5. В результате получаем упрощенное выражение: $ -\frac{3b}{a+b} $

Ответ: $ -\frac{3b}{a+b} $

124. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{5n - 1} $, если $ m = \frac{1}{4}, n = -3; $

б) $ \frac{(x + 2)^2}{3x + 9} \cdot \frac{2x + 6}{x^2 - 4} $, если $ x = 0,5; -1,5. $

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители.

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $m$ за скобки: $5mn - m = m(5n - 1)$.

Числитель второй дроби является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $16m^2 - n^2 = (4m)^2 - n^2 = (4m-n)(4m+n)$.

Теперь подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{5mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{5n - 1} = \frac{m(5n - 1)}{4m + n} \cdot \frac{(4m - n)(4m + n)}{5n - 1}$

Прежде чем сокращать, проверим область допустимых значений (ОДЗ) при заданных $m=\frac{1}{4}$ и $n=-3$. Знаменатели не должны равняться нулю: $4m+n = 4(\frac{1}{4}) + (-3) = 1-3 = -2 \ne 0$, и $5n-1 = 5(-3)-1 = -15-1 = -16 \ne 0$. Так как условия выполняются, мы можем выполнить сокращение.

Сократим общие множители $(4m+n)$ и $(5n-1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m\cancel{(5n - 1)}}{\cancel{4m + n}} \cdot \frac{(4m - n)\cancel{(4m + n)}}{\cancel{5n - 1}} = m(4m - n)$

Теперь подставим числовые значения $m = \frac{1}{4}$ и $n = -3$ в упрощенное выражение:

$m(4m - n) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot \frac{1}{4} - (-3)) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1.

б)

Сначала упростим данное выражение, разложив его части на множители.

Знаменатель первой дроби: $3x+9 = 3(x+3)$.

Числитель второй дроби: $2x+6 = 2(x+3)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2-4} = \frac{(x+2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $3x+9 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$ и $x^2-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2$. Заданные значения $x=0,5$ и $x=-1,5$ не нарушают ОДЗ, поэтому сокращение возможно.

Сократим общие множители $(x+3)$ и $(x+2)$:

$\frac{\cancel{(x+2)}(x+2)}{3\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{2\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)}$

Теперь найдем значение выражения для каждого из заданных значений $x$.

1. При $x = 0,5$:

$\frac{2(0,5+2)}{3(0,5-2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9}$.

2. При $x = -1,5$:

$\frac{2(-1,5+2)}{3(-1,5-2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}$.

Ответ: $-\frac{10}{9}$ при $x=0,5$; $-\frac{2}{21}$ при $x=-1,5$.

126. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{mx^2 - my^2}{2m+8} \cdot \frac{3m+12}{my+mx};$

б) $\frac{ax+ay}{x^2-2xy+y^2} \cdot \frac{x^2-xy}{7x+7y};$

В) $\frac{x^3-y^3}{x+y} \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2};$

Г) $\frac{a^2-1}{a^3+1} \cdot \frac{a^2-a+1}{a^2+2a+1}.$

а) Для того чтобы представить произведение дробей в виде одной дроби, необходимо разложить на множители числители и знаменатели данных дробей и затем сократить общие множители.
Исходное выражение: $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $m$ за скобки и применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2) = m(x-y)(x+y)$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$2m + 8 = 2(m+4)$.
3. Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель 3 за скобки:
$3m + 12 = 3(m+4)$.
4. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $m$ за скобки:
$my + mx = m(y+x) = m(x+y)$.
5. Подставим полученные выражения обратно в произведение и произведем сокращение:
$\frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} = \frac{\cancel{m}(x-y)\cancel{(x+y)}}{2\cancel{(m+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(m+4)}}{\cancel{m}\cancel{(x+y)}} = \frac{3(x-y)}{2}$.
Ответ: $\frac{3(x-y)}{2}$

б) Исходное выражение: $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби: $ax + ay = a(x+y)$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.
3. Разложим на множители числитель второй дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$.
4. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $7x + 7y = 7(x+y)$.
5. Подставим разложенные выражения и сократим:
$\frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{x(x-y)}{7(x+y)} = \frac{a\cancel{(x+y)}}{(x-y)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{x\cancel{(x-y)}}{7\cancel{(x+y)}} = \frac{ax}{7(x-y)}$.
Ответ: $\frac{ax}{7(x-y)}$

в) Исходное выражение: $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2}$.
1. Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
2. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
3. Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:
$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{x + y}} \cdot \frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} = (x-y)(x-y) = (x-y)^2$.
Ответ: $(x-y)^2$

г) Исходное выражение: $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1}$.
1. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
2. Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3 + 1 = (a+1)(a^2-a+1)$.
3. Разложим знаменатель второй дроби по формуле квадрата суммы $(a+1)^2 = a^2+2a+1$.
4. Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:
$\frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{(a+1)^2} = \frac{(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - a + 1}}{(a+1)^2} = \frac{a-1}{(a+1)^2}$.
Ответ: $\frac{a-1}{(a+1)^2}$

128. Докажите, что если дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом дроби, то и произведение $ab$ можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Пусть по условию задачи дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом некоторой дроби. Мы можем обозначить эту некоторую дробь как $k$, где $k$ — это некоторое выражение (например, другая дробь $\frac{c}{d}$). Тогда условие можно записать в виде математического равенства:

$\frac{a}{b} = k^2$

В этом выражении подразумевается, что $b \neq 0$.

Нам необходимо доказать, что произведение $ab$ можно представить в виде квадрата некоторого выражения. Для этого выполним преобразование исходного равенства. Умножим обе части равенства на $b^2$. Так как $b \neq 0$, то и $b^2 \neq 0$, поэтому данное действие является корректным.

$\frac{a}{b} \cdot b^2 = k^2 \cdot b^2$

В левой части равенства можно сократить $b$:

$a \cdot b = k^2 \cdot b^2$

Теперь рассмотрим правую часть полученного равенства. Используя свойство степеней, согласно которому произведение квадратов равно квадрату произведения ($x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$), мы можем записать:

$k^2 \cdot b^2 = (k \cdot b)^2$

Следовательно, мы получаем:

$ab = (kb)^2$

Это означает, что произведение $ab$ является квадратом выражения $kb$. Таким образом, утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом выражения $k$ (т.е. $\frac{a}{b} = k^2$), то произведение $ab$ является квадратом выражения $kb$ (т.е. $ab = (kb)^2$).