Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

96. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $;

Б) $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $;

В) $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $;

Г) $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab} $.

а) Исходное выражение: $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $.

Чтобы сложить и вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $ y^2-4 = (y-2)(y+2) $.

Перепишем выражение:

$ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ (y-2)(y+2) $. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой — $ (y-2) $, для второй — $ (y+2) $, для третьей — 1.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} = \frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{4y - 8 - 3y - 6 + 12}{(y-2)(y+2)} = \frac{(4y-3y) + (-8-6+12)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (y-2) $:

$ \frac{1}{y+2} $

Ответ: $ \frac{1}{y+2} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $.

Разложим знаменатель третьей дроби на множители. Для удобства вынесем минус за скобки: $ 36-a^2 = -(a^2-36) = -(a-6)(a+6) $.

Подставим это в выражение и изменим знак перед третьей дробью:

$ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{-(a-6)(a+6)} = \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $

Общий знаменатель — $ (a-6)(a+6) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)} $

Упростим числитель:

$ \frac{a^2 + 6a - 3a + 18 - a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{3a + 18}{(a-6)(a+6)} $

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$ \frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} $

Сократим дробь на $ (a+6) $:

$ \frac{3}{a-6} $

Ответ: $ \frac{3}{a-6} $.

в) Исходное выражение: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2x-2y = 2(x-y) $.

Получим: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2(x-y)} $.

Наименьший общий знаменатель равен $ 2(x-y)^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — $ (x-y) $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - (x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $

В числителе применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $:

$ \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $

Ответ: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $.

г) Исходное выражение: $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ b^2-ab = b(b-a) $.

Заметим, что $ b-a = -(a-b) $. Используем это для преобразования второй дроби:

$ \frac{a+b}{b^2-ab} = \frac{a+b}{b(b-a)} = \frac{a+b}{-b(a-b)} = -\frac{a+b}{b(a-b)} $

Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:

$ \frac{b}{(a-b)^2} - (-\frac{a+b}{b(a-b)}) = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)} $

Наименьший общий знаменатель — $ b(a-b)^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ (a-b) $.

$ \frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} $

В числителе используем формулу разности квадратов:

$ \frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2} $

Ответ: $ \frac{a^2}{b(a-b)^2} $.

98. Упростите выражение:

a) $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$;

б) $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}$.

а)

Дано выражение: $ \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2} $.

1. Разложим на множители знаменатель третьей дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $ 16b^2 - a^2 = (4b)^2 - a^2 = (4b - a)(4b + a) $.

2. Заметим, что множитель $ (4b - a) $ связан с множителем $ (a - 4b) $ из первой дроби: $ 4b - a = -(a - 4b) $. Это позволяет нам переписать знаменатель третьей дроби: $ (4b - a)(4b + a) = -(a - 4b)(a + 4b) $.

3. Подставим это в исходное выражение. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, изменим знак перед третьей дробью и знак ее знаменателя: $ \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{-(a^2 - 16b^2)} = \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{a^2 - 16b^2} $.

4. Теперь общий знаменатель для всех дробей — это $ a^2 - 16b^2 = (a - 4b)(a + 4b) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a + 4b) $, для второй — $ (a - 4b) $. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель. $ \frac{1 \cdot (a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} - \frac{1 \cdot (a - 4b)}{(a + 4b)(a - 4b)} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)} $.

5. Запишем все под общим знаменателем и выполним действия в числителе: $ \frac{(a + 4b) - (a - 4b) + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{a + 4b - a + 4b + 2a}{a^2 - 16b^2} $.

6. Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(a - a + 2a) + (4b + 4b)}{a^2 - 16b^2} = \frac{2a + 8b}{a^2 - 16b^2} $.

7. Вынесем общий множитель 2 в числителе: $ 2a + 8b = 2(a + 4b) $. $ \frac{2(a + 4b)}{a^2 - 16b^2} $.

8. Сократим дробь, разложив знаменатель на множители: $ \frac{2(a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{2}{a - 4b} $.

Ответ: $ \frac{2}{a - 4b} $.

б)

Дано выражение: $ \frac{1}{2b - 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3} $.

1. Разложим на множители знаменатели всех дробей:
$ 2b - 2a = 2(b - a) $
$ 2b + 2a = 2(b + a) $
$ a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a - b)(a + b) $

2. Удобно сначала сложить первые две дроби. Их общий знаменатель $ 2(b - a)(b + a) = 2(b^2 - a^2) $: $ \frac{1}{2(b - a)} + \frac{1}{2(b + a)} = \frac{1 \cdot (b + a) + 1 \cdot (b - a)}{2(b - a)(b + a)} = \frac{b + a + b - a}{2(b^2 - a^2)} = \frac{2b}{2(b^2 - a^2)} = \frac{b}{b^2 - a^2} $.

3. Теперь добавим к результату третью дробь: $ \frac{b}{b^2 - a^2} + \frac{a^2}{a^2b - b^3} $.

4. Подставим разложенный на множители знаменатель третьей дроби: $ a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) $. Также заметим, что $ b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) $. Преобразуем первую дробь: $ \frac{b}{-(a^2 - b^2)} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} = -\frac{b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} $.

5. Общий знаменатель теперь $ b(a^2 - b^2) $. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $b$: $ -\frac{b \cdot b}{b(a^2 - b^2)} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} = \frac{-b^2 + a^2}{b(a^2 - b^2)} $.

6. Упростим выражение в числителе: $ \frac{a^2 - b^2}{b(a^2 - b^2)} $.

7. Сократим дробь на общий множитель $ (a^2 - b^2) $: $ \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{b} $.

100. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:

а) $ \frac{x^3 + 3x}{x+2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x $ является положительным числом;

б) $ y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} $ является отрицательным числом.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.

3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

а) Докажем, что выражение $\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x$ является положительным числом при любых допустимых значениях переменной $x$.

Сначала упростим выражение, приведя все слагаемые к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель $x^2 - 4$ раскладывается на множители как $(x - 2)(x + 2)$. Следовательно, общий знаменатель для всех дробей — это $x^2 - 4$.

$\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x = \frac{(x^3 + 3x)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + \frac{2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Теперь объединим все слагаемые под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x) - (3x^2 - 14x + 16) + (2x^3 - 8x)}{x^2 - 4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - 3x^2 + 14x - 16 + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4}$

$\frac{x^4 + (-2x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (-6x + 14x - 8x) - 16}{x^2 - 4} = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Разложим числитель $x^4 - 16$ на множители как разность квадратов:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$

Подставим это в наше выражение и сократим дробь:

$\frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4} = x^2 + 4$

Полученное выражение $x^2 + 4$ нужно исследовать на знак. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то $x^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $x^2 + 4 \ge 4$. Так как $4 > 0$, значение выражения всегда положительно при любых допустимых значениях $x$.

Ответ: Выражение упрощается до $x^2+4$, что всегда больше или равно 4, а значит является положительным числом.

б) Докажем, что выражение $y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1}$ является отрицательным числом при любых допустимых значениях переменной $y$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Знаменатель $y^2 - 1$ раскладывается на множители как $(y - 1)(y + 1)$. Общий знаменатель — $y^2 - 1$.

$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y^2 - 1)}{y^2 - 1} + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{(y^3 + 2y)(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)}$

Объединим слагаемые и раскроем скобки в числителе:

$\frac{(y^3 - y) + (2y^2 + 3y + 1) - (y^4 + y^3 + 2y^2 + 2y)}{y^2 - 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y}{y^2 - 1}$

$\frac{-y^4 + (y^3 - y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (-y + 3y - 2y) + 1}{y^2 - 1} = \frac{-y^4 + 1}{y^2 - 1}$

Вынесем минус за скобки в числителе и разложим $y^4 - 1$ на множители как разность квадратов:

$\frac{-(y^4 - 1)}{y^2 - 1} = \frac{-((y^2)^2 - 1^2)}{y^2 - 1} = \frac{-(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1}$

Сократим дробь:

$-(y^2 + 1) = -y^2 - 1$

Исследуем на знак полученное выражение $-y^2 - 1$. Квадрат любого действительного числа $y$ неотрицателен ($y^2 \ge 0$), следовательно, $y^2 + 1 \ge 1$. Умножая обе части неравенства на $-1$, получаем $-(y^2 + 1) \le -1$. Так как $-1 < 0$, значение выражения всегда отрицательно при любых допустимых значениях $y$.

Ответ: Выражение упрощается до $-(y^2+1)$, что всегда меньше или равно -1, а значит является отрицательным числом.

3) В условии указано, что рассматриваются "допустимые значения переменных", потому что исходные выражения содержат дроби. Деление на ноль является неопределенной операцией в математике, поэтому необходимо исключить все значения переменных, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль. Эти значения не входят в область определения выражения. Упрощение выражений путем сокращения дробей (как, например, сокращение на $x^2 - 4$ в пункте а) возможно только при условии, что этот множитель не равен нулю.

Допустимые значения переменных в заданиях:

а) Знаменатели в выражении: $x+2$ и $x^2-4$.
Условие допустимых значений: $x+2 \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$.
Из первого условия получаем $x \neq -2$.
Из второго условия $x^2 \neq 4$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Таким образом, допустимыми являются все значения $x$, кроме $x = 2$ и $x = -2$.

б) Знаменатели в выражении: $y^2-1$ и $y-1$.
Условие допустимых значений: $y^2-1 \neq 0$ и $y-1 \neq 0$.
Из первого условия $y^2 \neq 1$, что означает $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Второе условие $y \neq 1$ уже учтено в первом.
Таким образом, допустимыми являются все значения $y$, кроме $y = 1$ и $y = -1$.

97. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $ \frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab}; $

б) $ \frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}; $

в) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}; $

г) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}. $

а) $ \frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab} $

1. Разложим знаменатели на множители: $ 2a^2 - ab = a(2a - b) $; $ 4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) $ (разность квадратов); $ 2a^2 + ab = a(2a + b) $.

2. Общий знаменатель равен $ a(2a - b)(2a + b) $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(2a + b)(2a + b)}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{(2a - b)(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)} $

3. Запишем все под одной чертой и упростим числитель:

$ \frac{(2a + b)^2 - 16a^2 - (2a - b)^2}{a(2a - b)(2a + b)} = \frac{(4a^2 + 4ab + b^2) - 16a^2 - (4a^2 - 4ab + b^2)}{a(2a - b)(2a + b)} $

$ = \frac{4a^2 + 4ab + b^2 - 16a^2 - 4a^2 + 4ab - b^2}{a(2a - b)(2a + b)} = \frac{8ab - 16a^2}{a(2a - b)(2a + b)} $

4. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-8a(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)} = -\frac{8}{2a + b} $

Ответ: $ -\frac{8}{2a + b} $

б) $ \frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2} $

1. Разложим знаменатель средней дроби на множители: $ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) $.

2. Общий знаменатель равен $ (a - 3)^2(a + 3)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (a + 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} - \frac{2(a - 3)(a + 3)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} + \frac{1 \cdot (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} $

3. Объединим дроби и упростим числитель. Заметим, что числитель представляет собой квадрат разности выражений $ (a+3) $ и $ (a-3) $, если бы средний член был другим. Упростим напрямую:

$ \frac{(a + 3)^2 - 2(a^2 - 9) + (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} $

$ = \frac{(a^2 + 6a + 9) - (2a^2 - 18) + (a^2 - 6a + 9)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} $

$ = \frac{a^2 + 6a + 9 - 2a^2 + 18 + a^2 - 6a + 9}{(a^2 - 9)^2} = \frac{36}{(a^2 - 9)^2} $

Ответ: $ \frac{36}{(a^2 - 9)^2} $

в) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} $

1. Разложим знаменатель $ x^3 - 8 $ по формуле разности кубов: $ x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $.

2. Общий знаменатель равен $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{1(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

3. Выполним действия в числителе:

$ \frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{(x^2 - 4x + 4) - 6x + x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

$ = \frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

4. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} $

Ответ: $ \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} $

г) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} $

1. Разложим знаменатель $ a^3 - 1 $ по формуле разности кубов: $ a^3 - 1^3 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

2. Общий знаменатель равен $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

3. Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

$ = \frac{(2a^2 + 7a + 3) - (a - 1 - 2a^2 + 2a) - (3a^2 + 3a + 3)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

$ = \frac{2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - 3a^2 - 3a - 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

$ = \frac{2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

4. Сократим полученную дробь:

$ \frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a - 1} $

Ответ: $ \frac{1}{a - 1} $

99. Докажите, что тождественно равны выражения:

а) $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}$ и $a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}$;

б) $\frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2}$ и $a - 1$.

а) Чтобы доказать, что выражения тождественно равны, необходимо преобразовать их и показать, что они приводятся к одному и тому же виду. Преобразуем оба выражения по очереди.

1. Упростим первое выражение: $\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$.
Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2-3a = a(a-3)$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3}$.
Общий знаменатель для этих дробей — $a(a-3)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $a$:
$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{(a-3) \cdot a} = \frac{3 + a^3}{a(a-3)}$.

2. Упростим второе выражение: $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$.
Знаменатель дроби $a^2-3a$ равен $a(a-3)$. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a(a-3)$:
$a+3 + \frac{9a+3}{a(a-3)} = \frac{(a+3) \cdot a(a-3)}{a(a-3)} + \frac{9a+3}{a(a-3)}$.
Раскроем скобки в числителе первого слагаемого: $(a+3) \cdot a(a-3) = a(a+3)(a-3) = a(a^2-9) = a^3-9a$.
Теперь сложим числители:
$\frac{a^3-9a + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$.

Поскольку оба исходных выражения приводятся к одному и тому же виду $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, они тождественно равны.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, упростим левое, более сложное выражение, и покажем, что оно равно правому выражению.

Рассмотрим выражение $\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
Это и есть общий знаменатель для всех трёх дробей. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Теперь объединим все дроби в одну, выполнив вычитание в числителе:
$\frac{a^3 - a(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$a^3 - (a^2+2a) - (2a-4) = a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4 = a^3 - a^2 - 4a + 4$.
Теперь разложим числитель на множители методом группировки:
$(a^3 - a^2) - (4a - 4) = a^2(a-1) - 4(a-1) = (a^2-4)(a-1)$.
Подставим полученный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^2-4)$ (при условии, что $a \neq \pm 2$):
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4} = a-1$.
Мы преобразовали левое выражение и получили $a-1$, что в точности совпадает с правым выражением. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.