Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

74. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{5y - 3}{6y} + \frac{y + 2}{4y};$

б) $\frac{3x + 5}{35x} + \frac{x - 3}{21x};$

в) $\frac{b + 2}{15b} - \frac{3c - 5}{45c};$

г) $\frac{8b + y}{40b} - \frac{6y + b}{30y}.$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $6y$ и $4y$ — это $12y$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $\frac{12y}{6y} = 2$, для второй — $\frac{12y}{4y} = 3$.
Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и сложим полученные выражения:
$\frac{2 \cdot (5y - 3)}{12y} + \frac{3 \cdot (y + 2)}{12y} = \frac{2(5y - 3) + 3(y + 2)}{12y}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{10y - 6 + 3y + 6}{12y} = \frac{(10y + 3y) + (-6 + 6)}{12y} = \frac{13y}{12y}$
Сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):
$\frac{13}{12}$
Ответ: $\frac{13}{12}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{3x+5}{35x} + \frac{x-3}{21x}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для $35$ и $21$.
$35 = 5 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Таким образом, общий знаменатель равен $105x$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{105x}{35x} = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{105x}{21x} = 5$.
Выполним сложение:
$\frac{3(3x+5) + 5(x-3)}{105x} = \frac{9x + 15 + 5x - 15}{105x}$
Упростим числитель:
$\frac{14x}{105x}$
Сократим дробь на $7x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{b+2}{15b} - \frac{3c-5}{45c}$, найдем наименьший общий знаменатель для $15b$ и $45c$.
НОК(15, 45) = 45. Общий знаменатель будет $45bc$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{45bc}{15b} = 3c$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{45bc}{45c} = b$.
Выполним вычитание:
$\frac{3c(b+2) - b(3c-5)}{45bc} = \frac{3bc + 6c - (3bc - 5b)}{45bc}$
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$\frac{3bc + 6c - 3bc + 5b}{45bc} = \frac{5b + 6c}{45bc}$
Ответ: $\frac{5b + 6c}{45bc}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{8b+y}{40b} - \frac{6y+b}{30y}$, найдем наименьший общий знаменатель для $40b$ и $30y$.
НОК(40, 30) = 120. Общий знаменатель будет $120by$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{120by}{40b} = 3y$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{120by}{30y} = 4b$.
Выполним вычитание:
$\frac{3y(8b+y) - 4b(6y+b)}{120by} = \frac{24by + 3y^2 - (24by + 4b^2)}{120by}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{24by + 3y^2 - 24by - 4b^2}{120by}$
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$\frac{3y^2 - 4b^2}{120by}$
Ответ: $\frac{3y^2 - 4b^2}{120by}$

76. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}$;

б) $\frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2}$;

в) $\frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}}$;

г) $\frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab}$;

д) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$;

е) $\frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2 $ и $ a $ это $ a^2 $. Домножим вторую дробь на дополнительный множитель $ a $.

$ \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{b}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{a^2} = \frac{b-a}{a^2} $

Ответ: $ \frac{b-a}{a^2} $

б) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ x^3 $ и $ x^2 $ это $ x^3 $. Домножим вторую дробь на дополнительный множитель $ x $.

$ \frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{1 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{x}{x^3} = \frac{1-x+x}{x^3} = \frac{1}{x^3} $

Ответ: $ \frac{1}{x^3} $

в) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ 2a^7 $ и $ a^{10} $ это $ 2a^{10} $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ a^3 $, для второй — $ 2 $.

$ \frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}} = \frac{1 \cdot a^3}{2a^7 \cdot a^3} + \frac{(4-2a^3) \cdot 2}{a^{10} \cdot 2} = \frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8-4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8-3a^3}{2a^{10}} $

Ответ: $ \frac{8-3a^3}{2a^{10}} $

г) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2 $ и $ ab $ это $ a^2b $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.

$ \frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab} = \frac{(a+b) \cdot b}{a^2 \cdot b} + \frac{(a-b) \cdot a}{ab \cdot a} = \frac{ab+b^2}{a^2b} + \frac{a^2-ab}{a^2b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^2b} = \frac{a^2+b^2}{a^2b} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{a^2b} $

д) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2b $ и $ ab^2 $ это $ a^2b^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.

$ \frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b \cdot b} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{ab^2 \cdot a} = \frac{2ab-3b^2}{a^2b^2} - \frac{4a^2-5ab}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2 - (4a^2-5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2b^2} = \frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2} $

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ xy^2 $ и $ x^2y $ это $ x^2y^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ x $, для второй — $ y $.

$ \frac{(x-2y) \cdot x}{xy^2 \cdot x} - \frac{(2y-x) \cdot y}{x^2y \cdot y} = \frac{x^2-2xy}{x^2y^2} - \frac{2y^2-xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy - (2y^2-xy)}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy-2y^2+xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2} $

Ответ: $ \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2} $

78. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}$;

б) $\frac{ab - b}{a} - \frac{ab - a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{ab}$;

в) $\frac{b - a}{ab} + \frac{c - b}{bc} - \frac{c - a}{ac}$;

г) $\frac{3ab + 2b^2}{ab} - \frac{a + 2b}{a} + \frac{a - 2b}{b}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для выражений $ab$, $ac$ и $bc$ - это $abc$.

Для приведения к общему знаменателю необходимо домножить каждую дробь на недостающий множитель:
- первую дробь $\frac{1}{ab}$ на $c$;
- вторую дробь $\frac{1}{ac}$ на $b$;
- третью дробь $\frac{1}{bc}$ на $a$.

Выполним преобразование и сложение:

$\frac{1 \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{1 \cdot b}{ac \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} = \frac{c+b+a}{abc}$

Упорядочим слагаемые в числителе для стандартного вида:

$\frac{a+b+c}{abc}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{abc}$

б) Преобразуем выражение $\frac{ab-b}{a} - \frac{ab-a}{b} - \frac{a^2-b^2}{ab}$. Общий знаменатель для дробей - $ab$.

Приведем первые две дроби к знаменателю $ab$, домножая числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй - на $a$:

$\frac{(ab-b) \cdot b}{a \cdot b} - \frac{(ab-a) \cdot a}{b \cdot a} - \frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{ab^2-b^2}{ab} - \frac{a^2b-a^2}{ab} - \frac{a^2-b^2}{ab}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем, объединив числители:

$\frac{(ab^2-b^2) - (a^2b-a^2) - (a^2-b^2)}{ab}$

Раскроем скобки в числителе, внимательно следя за знаками:

$\frac{ab^2-b^2 - a^2b+a^2 - a^2+b^2}{ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $-b^2$ и $+b^2$ взаимно уничтожаются, как и $+a^2$ и $-a^2$. Остается $ab^2 - a^2b$.

Выражение принимает вид: $\frac{ab^2-a^2b}{ab}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе за скобки:

$\frac{ab(b-a)}{ab}$

Сократим дробь на общий множитель $ab$:

$b-a$

Ответ: $b-a$

в) Рассмотрим выражение $\frac{b-a}{ab} + \frac{c-b}{bc} - \frac{c-a}{ac}$. Общий знаменатель для дробей - $abc$.

Домножим первую дробь на $c$, вторую на $a$, а третью на $b$, чтобы привести их к общему знаменателю:

$\frac{(b-a)c}{abc} + \frac{(c-b)a}{abc} - \frac{(c-a)b}{abc}$

Объединим все под одним знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{c(b-a) + a(c-b) - b(c-a)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - (bc - ab)}{abc}$

Раскроем последние скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc} = \frac{(bc - bc) + (-ac + ac) + (-ab + ab)}{abc} = \frac{0+0+0}{abc}$

Числитель равен нулю, следовательно, вся дробь равна нулю:

$\frac{0}{abc} = 0$

Ответ: $0$

г) Преобразуем выражение $\frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{a+2b}{a} + \frac{a-2b}{b}$. Общий знаменатель - $ab$.

Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю $ab$. Вторую дробь домножим на $b$, а третью - на $a$:

$\frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{(a+2b)b}{ab} + \frac{(a-2b)a}{ab}$

Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителях:

$\frac{(3ab+2b^2) - (ab+2b^2) + (a^2-2ab)}{ab}$

Снимем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3ab+2b^2 - ab-2b^2 + a^2-2ab}{ab} = \frac{(3ab - ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2) + a^2}{ab}$

$\frac{0 + 0 + a^2}{ab} = \frac{a^2}{ab}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $a$:

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

73. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} $;

б) $ \frac{c}{4} - \frac{d}{12} $;

в) $ \frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} $;

г) $ \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} $;

д) $ \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} $;

е) $ \frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} $;

ж) $ \frac{1}{5a} - \frac{8}{25a} $;

з) $ \frac{3b}{4c} + \frac{c}{2b} $.

а) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это их произведение, то есть 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{3x + 2y}{6}$

Ответ: $\frac{3x + 2y}{6}$

б) $\frac{c}{4} - \frac{d}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 - это 12. Домножим первую дробь на дополнительный множитель 3 ($12 : 4 = 3$):

$\frac{c \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{d}{12} = \frac{3c}{12} - \frac{d}{12}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{3c - d}{12}$

Ответ: $\frac{3c - d}{12}$

в) $\frac{a}{b} - \frac{b^2}{a}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $b$ и $a$ - это их произведение $ab$. Домножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab}$

Выполним вычитание:

$\frac{a^2 - b^3}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^3}{ab}$

г) $\frac{3}{2x} - \frac{2}{3x}$

Наименьший общий знаменатель для $2x$ и $3x$ - это $6x$. Дополнительный множитель для первой дроби - 3, для второй - 2:

$\frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{9 - 4}{6x} = \frac{5}{6x}$

Ответ: $\frac{5}{6x}$

д) $\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y}$

Наименьший общий знаменатель для $8y$ и $4y$ - это $8y$. Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y}$

Сложим числители:

$\frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y}$

Ответ: $\frac{7x}{8y}$

е) $\frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $24c$ и $36c$. Наименьшее общее кратное для чисел 24 и 36 равно 72. Значит, общий знаменатель - $72c$. Домножим первую дробь на 3 ($72 : 24 = 3$) и вторую на 2 ($72 : 36 = 2$):

$\frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c}$

Выполним вычитание:

$\frac{51y - 50y}{72c} = \frac{y}{72c}$

Ответ: $\frac{y}{72c}$

ж) $\frac{1}{5a} - \frac{8}{25a}$

Наименьший общий знаменатель для $5a$ и $25a$ - это $25a$. Домножим первую дробь на 5:

$\frac{1 \cdot 5}{5a \cdot 5} - \frac{8}{25a} = \frac{5}{25a} - \frac{8}{25a}$

Выполним вычитание:

$\frac{5 - 8}{25a} = \frac{-3}{25a} = -\frac{3}{25a}$

Ответ: $-\frac{3}{25a}$

з) $\frac{3b}{4c} + \frac{c}{2b}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $4c$ и $2b$. Он равен $4bc$. Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $2c$:

$\frac{3b \cdot b}{4c \cdot b} + \frac{c \cdot 2c}{2b \cdot 2c} = \frac{3b^2}{4bc} + \frac{2c^2}{4bc}$

Сложим числители:

$\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$

Ответ: $\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$

75. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $ \frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a} $

б) $ \frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y} $

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a}$ в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — $12a$ и $9a$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 12 и 9 равно 36. Общий буквенный множитель — $a$. Таким образом, НОЗ равен $36a$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби: $\frac{36a}{12a} = 3$.
• Для второй дроби: $\frac{36a}{9a} = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a} = \frac{3 \cdot (15a-b)}{3 \cdot 12a} - \frac{4 \cdot (a-4b)}{4 \cdot 9a} = \frac{3(15a-b)}{36a} - \frac{4(a-4b)}{36a}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, объединив числители:

$\frac{3(15a-b) - 4(a-4b)}{36a}$

Раскроем скобки в числителе:

$3 \cdot 15a - 3 \cdot b - (4 \cdot a - 4 \cdot 4b) = 45a - 3b - 4a + 16b$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(45a - 4a) + (-3b + 16b) = 41a + 13b$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{41a+13b}{36a}$

Ответ: $\frac{41a+13b}{36a}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y}$ в дробь, приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — $8y$ и $6y$. Найдем наименьший общий знаменатель. НОК для чисел 8 и 6 равно 24. Общий буквенный множитель — $y$. Таким образом, НОЗ равен $24y$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби: $\frac{24y}{8y} = 3$.
• Для второй дроби: $\frac{24y}{6y} = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y} = \frac{3 \cdot (7x+4)}{3 \cdot 8y} - \frac{4 \cdot (3x-1)}{4 \cdot 6y} = \frac{3(7x+4)}{24y} - \frac{4(3x-1)}{24y}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3(7x+4) - 4(3x-1)}{24y}$

Раскроем скобки в числителе. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью:

$3 \cdot 7x + 3 \cdot 4 - (4 \cdot 3x - 4 \cdot 1) = 21x + 12 - 12x + 4$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(21x - 12x) + (12 + 4) = 9x + 16$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{9x+16}{24y}$

Ответ: $\frac{9x+16}{24y}$

77. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{2xy - 1}{4x^3} - \frac{3y - x}{6x^2} $;

б) $ \frac{1 - b^2}{3ab} + \frac{2b^3 - 1}{6ab^2} $;

в) $ \frac{1}{3a^3} - \frac{2}{5a^5} $;

г) $ \frac{b^2}{6x^5} - \frac{b}{3x^6} $.

а) Чтобы представить выражение $\frac{2xy - 1}{4x^3} - \frac{3y - x}{6x^2}$ в виде дроби, необходимо привести дроби к общему знаменателю.
1. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $4x^3$ и $6x^2$. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 4 и 6 равно 12. Наибольшая степень переменной $x$ в знаменателях - $x^3$. Таким образом, НОЗ = $12x^3$.
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби: $\frac{12x^3}{4x^3} = 3$.
Для второй дроби: $\frac{12x^3}{6x^2} = 2x$.
3. Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:
$\frac{3 \cdot (2xy - 1)}{12x^3} - \frac{2x \cdot (3y - x)}{12x^3} = \frac{6xy - 3 - (6xy - 2x^2)}{12x^3}$
4. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{6xy - 3 - 6xy + 2x^2}{12x^3} = \frac{2x^2 - 3}{12x^3}$

Ответ: $\frac{2x^2 - 3}{12x^3}$

б) Чтобы представить выражение $\frac{1 - b^2}{3ab} + \frac{2b^3 - 1}{6ab^2}$ в виде дроби, приведем дроби к общему знаменателю.
1. НОЗ для $3ab$ и $6ab^2$ равен $6ab^2$.
2. Дополнительные множители:
Для первой дроби: $\frac{6ab^2}{3ab} = 2b$.
Для второй дроби: $\frac{6ab^2}{6ab^2} = 1$.
3. Выполним сложение дробей:
$\frac{2b \cdot (1 - b^2)}{6ab^2} + \frac{1 \cdot (2b^3 - 1)}{6ab^2} = \frac{2b - 2b^3 + 2b^3 - 1}{6ab^2}$
4. Упростим числитель:
$\frac{2b - 1}{6ab^2}$

Ответ: $\frac{2b - 1}{6ab^2}$

в) Чтобы представить выражение $\frac{1}{3a^3} - \frac{2}{5a^5}$ в виде дроби, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для $3a^3$ и $5a^5$ равен $15a^5$.
2. Дополнительные множители:
Для первой дроби: $\frac{15a^5}{3a^3} = 5a^2$.
Для второй дроби: $\frac{15a^5}{5a^5} = 3$.
3. Выполним вычитание дробей:
$\frac{1 \cdot 5a^2}{15a^5} - \frac{2 \cdot 3}{15a^5} = \frac{5a^2 - 6}{15a^5}$

Ответ: $\frac{5a^2 - 6}{15a^5}$

г) Чтобы представить выражение $\frac{b^2}{6x^5} - \frac{b}{3x^6}$ в виде дроби, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для $6x^5$ и $3x^6$ равен $6x^6$.
2. Дополнительные множители:
Для первой дроби: $\frac{6x^6}{6x^5} = x$.
Для второй дроби: $\frac{6x^6}{3x^6} = 2$.
3. Выполним вычитание дробей:
$\frac{b^2 \cdot x}{6x^6} - \frac{b \cdot 2}{6x^6} = \frac{b^2x - 2b}{6x^6}$
В числителе можно вынести за скобки общий множитель $b$: $\frac{b(bx-2)}{6x^6}$. Оба варианта ответа верны.

Ответ: $\frac{b^2x - 2b}{6x^6}$

79. Выполните вычитание дробей:

а) $\frac{x - y}{xy} - \frac{x - z}{xz}$;

б) $\frac{a - 2b}{3b} - \frac{b - 2a}{3a}$;

в) $\frac{p - q}{p^3 q^2} - \frac{p + q}{p^2 q^3}$;

г) $\frac{3m - n}{3m^2 n} - \frac{2n - m}{2mn^2}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $xy$ и $xz$ — это $xyz$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xyz}{xy} = z$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xyz}{xz} = y$.

Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем вычитание:

$\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz} = \frac{z(x-y)}{xyz} - \frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) - y(x-z)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{xz - yz - (xy - yz)}{xyz} = \frac{xz - yz - xy + yz}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{xz - xy}{xyz}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}$

Ответ: $\frac{z-y}{yz}$

б) Выполним вычитание дробей $\frac{a-2b}{3b} - \frac{b-2a}{3a}$.

Наименьший общий знаменатель для $3b$ и $3a$ — это $3ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3ab}{3b} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3ab}{3a} = b$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{a(a-2b)}{3ab} - \frac{b(b-2a)}{3ab} = \frac{a(a-2b) - b(b-2a)}{3ab}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 2ab - (b^2 - 2ab)}{3ab} = \frac{a^2 - 2ab - b^2 + 2ab}{3ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

в) Выполним вычитание дробей $\frac{p-q}{p^3q^2} - \frac{p+q}{p^2q^3}$.

Наименьший общий знаменатель для $p^3q^2$ и $p^2q^3$ — это $p^3q^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{p^3q^3}{p^3q^2} = q$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{p^3q^3}{p^2q^3} = p$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{q(p-q)}{p^3q^3} - \frac{p(p+q)}{p^3q^3} = \frac{q(p-q) - p(p+q)}{p^3q^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{pq - q^2 - (p^2 + pq)}{p^3q^3} = \frac{pq - q^2 - p^2 - pq}{p^3q^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-q^2 - p^2}{p^3q^3} = \frac{-(p^2 + q^2)}{p^3q^3} = -\frac{p^2 + q^2}{p^3q^3}$

Ответ: $-\frac{p^2 + q^2}{p^3q^3}$

г) Выполним вычитание дробей $\frac{3m-n}{3m^2n} - \frac{2n-m}{2mn^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $3m^2n$ и $2mn^2$. Найдем НОК(2, 3) = 6. Для переменных возьмем наивысшие степени: $m^2$ и $n^2$. Общий знаменатель: $6m^2n^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6m^2n^2}{3m^2n} = 2n$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6m^2n^2}{2mn^2} = 3m$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{2n(3m-n)}{6m^2n^2} - \frac{3m(2n-m)}{6m^2n^2} = \frac{2n(3m-n) - 3m(2n-m)}{6m^2n^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6mn - 2n^2 - (6mn - 3m^2)}{6m^2n^2} = \frac{6mn - 2n^2 - 6mn + 3m^2}{6m^2n^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$

Ответ: $\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$