Номер 78, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 78, страница 23.

78. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}$;

б) $\frac{ab - b}{a} - \frac{ab - a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{ab}$;

в) $\frac{b - a}{ab} + \frac{c - b}{bc} - \frac{c - a}{ac}$;

г) $\frac{3ab + 2b^2}{ab} - \frac{a + 2b}{a} + \frac{a - 2b}{b}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для выражений $ab$, $ac$ и $bc$ - это $abc$.

Для приведения к общему знаменателю необходимо домножить каждую дробь на недостающий множитель:
- первую дробь $\frac{1}{ab}$ на $c$;
- вторую дробь $\frac{1}{ac}$ на $b$;
- третью дробь $\frac{1}{bc}$ на $a$.

Выполним преобразование и сложение:

$\frac{1 \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{1 \cdot b}{ac \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} = \frac{c+b+a}{abc}$

Упорядочим слагаемые в числителе для стандартного вида:

$\frac{a+b+c}{abc}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{abc}$

б) Преобразуем выражение $\frac{ab-b}{a} - \frac{ab-a}{b} - \frac{a^2-b^2}{ab}$. Общий знаменатель для дробей - $ab$.

Приведем первые две дроби к знаменателю $ab$, домножая числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй - на $a$:

$\frac{(ab-b) \cdot b}{a \cdot b} - \frac{(ab-a) \cdot a}{b \cdot a} - \frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{ab^2-b^2}{ab} - \frac{a^2b-a^2}{ab} - \frac{a^2-b^2}{ab}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем, объединив числители:

$\frac{(ab^2-b^2) - (a^2b-a^2) - (a^2-b^2)}{ab}$

Раскроем скобки в числителе, внимательно следя за знаками:

$\frac{ab^2-b^2 - a^2b+a^2 - a^2+b^2}{ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $-b^2$ и $+b^2$ взаимно уничтожаются, как и $+a^2$ и $-a^2$. Остается $ab^2 - a^2b$.

Выражение принимает вид: $\frac{ab^2-a^2b}{ab}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе за скобки:

$\frac{ab(b-a)}{ab}$

Сократим дробь на общий множитель $ab$:

$b-a$

Ответ: $b-a$

в) Рассмотрим выражение $\frac{b-a}{ab} + \frac{c-b}{bc} - \frac{c-a}{ac}$. Общий знаменатель для дробей - $abc$.

Домножим первую дробь на $c$, вторую на $a$, а третью на $b$, чтобы привести их к общему знаменателю:

$\frac{(b-a)c}{abc} + \frac{(c-b)a}{abc} - \frac{(c-a)b}{abc}$

Объединим все под одним знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{c(b-a) + a(c-b) - b(c-a)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - (bc - ab)}{abc}$

Раскроем последние скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc} = \frac{(bc - bc) + (-ac + ac) + (-ab + ab)}{abc} = \frac{0+0+0}{abc}$

Числитель равен нулю, следовательно, вся дробь равна нулю:

$\frac{0}{abc} = 0$

Ответ: $0$

г) Преобразуем выражение $\frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{a+2b}{a} + \frac{a-2b}{b}$. Общий знаменатель - $ab$.

Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю $ab$. Вторую дробь домножим на $b$, а третью - на $a$:

$\frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{(a+2b)b}{ab} + \frac{(a-2b)a}{ab}$

Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителях:

$\frac{(3ab+2b^2) - (ab+2b^2) + (a^2-2ab)}{ab}$

Снимем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3ab+2b^2 - ab-2b^2 + a^2-2ab}{ab} = \frac{(3ab - ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2) + a^2}{ab}$

$\frac{0 + 0 + a^2}{ab} = \frac{a^2}{ab}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $a$:

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$