Номер 80, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 80, страница 24.

80. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $x + \frac{1}{y}$;

б) $\frac{1}{a} - a$;

в) $3a - \frac{a}{4}$;

г) $5b - \frac{2}{b}$;

д) $\frac{a^2 + b}{a} - a$;

е) $2p - \frac{4p^2 + 1}{2p}$;

ж) $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$;

з) $c - \frac{(b+c)^2}{2b}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $x + \frac{1}{y}$ в дробь, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{x}{1} = \frac{x \cdot y}{y} = \frac{xy}{y}$. Теперь выполним сложение дробей: $x + \frac{1}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy+1}{y}$.
Ответ: $\frac{xy+1}{y}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{1}{a} - a$ в дробь, приведем его члены к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a}{1} = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{1}{a} - a = \frac{1}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{1-a^2}{a}$.
Ответ: $\frac{1-a^2}{a}$

в) В выражении $3a - \frac{a}{4}$ общий знаменатель равен 4. Приведем $3a$ к знаменателю 4: $3a = \frac{3a \cdot 4}{4} = \frac{12a}{4}$. Выполним вычитание дробей: $3a - \frac{a}{4} = \frac{12a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{12a-a}{4} = \frac{11a}{4}$.
Ответ: $\frac{11a}{4}$

г) В выражении $5b - \frac{2}{b}$ общий знаменатель равен $b$. Приведем $5b$ к знаменателю $b$: $5b = \frac{5b \cdot b}{b} = \frac{5b^2}{b}$. Выполним вычитание: $5b - \frac{2}{b} = \frac{5b^2}{b} - \frac{2}{b} = \frac{5b^2-2}{b}$.
Ответ: $\frac{5b^2-2}{b}$

д) В выражении $\frac{a^2+b}{a} - a$ общий знаменатель $a$. Представим $a$ как дробь со знаменателем $a$: $a = \frac{a^2}{a}$. Выполним вычитание: $\frac{a^2+b}{a} - a = \frac{a^2+b}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{(a^2+b)-a^2}{a} = \frac{a^2+b-a^2}{a} = \frac{b}{a}$.
Ответ: $\frac{b}{a}$

е) В выражении $2p - \frac{4p^2+1}{2p}$ общий знаменатель $2p$. Приведем $2p$ к знаменателю $2p$: $2p = \frac{2p \cdot 2p}{2p} = \frac{4p^2}{2p}$. Выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю: $2p - \frac{4p^2+1}{2p} = \frac{4p^2}{2p} - \frac{4p^2+1}{2p} = \frac{4p^2 - (4p^2+1)}{2p} = \frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p} = -\frac{1}{2p}$.
Ответ: $-\frac{1}{2p}$

ж) В выражении $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$ общий знаменатель $2a$. Приведем $b$ к знаменателю $2a$: $b = \frac{b \cdot 2a}{2a} = \frac{2ab}{2a}$. Выполним сложение: $\frac{(a-b)^2}{2a} + b = \frac{(a-b)^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{(a-b)^2+2ab}{2a}$. Раскроем квадрат разности в числителе по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$: $\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{2a} = \frac{a^2+b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{2a}$

з) В выражении $c - \frac{(b+c)^2}{2b}$ общий знаменатель $2b$. Приведем $c$ к знаменателю $2b$: $c = \frac{c \cdot 2b}{2b} = \frac{2bc}{2b}$. Выполним вычитание: $c - \frac{(b+c)^2}{2b} = \frac{2bc}{2b} - \frac{(b+c)^2}{2b} = \frac{2bc - (b+c)^2}{2b}$. Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$: $\frac{2bc - (b^2+2bc+c^2)}{2b} = \frac{2bc - b^2 - 2bc - c^2}{2b} = \frac{-b^2-c^2}{2b} = -\frac{b^2+c^2}{2b}$.
Ответ: $-\frac{b^2+c^2}{2b}$