Номер 75, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 75, страница 23.

75. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $ \frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a} $

б) $ \frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y} $

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a}$ в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — $12a$ и $9a$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 12 и 9 равно 36. Общий буквенный множитель — $a$. Таким образом, НОЗ равен $36a$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби: $\frac{36a}{12a} = 3$.
• Для второй дроби: $\frac{36a}{9a} = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{15a-b}{12a} - \frac{a-4b}{9a} = \frac{3 \cdot (15a-b)}{3 \cdot 12a} - \frac{4 \cdot (a-4b)}{4 \cdot 9a} = \frac{3(15a-b)}{36a} - \frac{4(a-4b)}{36a}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, объединив числители:

$\frac{3(15a-b) - 4(a-4b)}{36a}$

Раскроем скобки в числителе:

$3 \cdot 15a - 3 \cdot b - (4 \cdot a - 4 \cdot 4b) = 45a - 3b - 4a + 16b$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(45a - 4a) + (-3b + 16b) = 41a + 13b$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{41a+13b}{36a}$

Ответ: $\frac{41a+13b}{36a}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y}$ в дробь, приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — $8y$ и $6y$. Найдем наименьший общий знаменатель. НОК для чисел 8 и 6 равно 24. Общий буквенный множитель — $y$. Таким образом, НОЗ равен $24y$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби: $\frac{24y}{8y} = 3$.
• Для второй дроби: $\frac{24y}{6y} = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{7x+4}{8y} - \frac{3x-1}{6y} = \frac{3 \cdot (7x+4)}{3 \cdot 8y} - \frac{4 \cdot (3x-1)}{4 \cdot 6y} = \frac{3(7x+4)}{24y} - \frac{4(3x-1)}{24y}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3(7x+4) - 4(3x-1)}{24y}$

Раскроем скобки в числителе. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью:

$3 \cdot 7x + 3 \cdot 4 - (4 \cdot 3x - 4 \cdot 1) = 21x + 12 - 12x + 4$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(21x - 12x) + (12 + 4) = 9x + 16$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{9x+16}{24y}$

Ответ: $\frac{9x+16}{24y}$