Номер 82, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 82, страница 24.

82. Представьте в виде дроби:

а) $1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4};$

б) $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b};$

в) $\frac{a-2}{2} - 1 - \frac{a-3}{3};$

г) $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3};$

д) $\frac{a+b}{4} - a + b;$

е) $a + b - \frac{a^2+b^2}{a}.$

а) Чтобы представить выражение $1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4}$ в виде одной дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями 1, 5 и 4 — это их наименьшее общее кратное, которое равно 20.

Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем 20:
$1 = \frac{20}{20}$
$\frac{a}{5} = \frac{a \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4a}{20}$
$\frac{b}{4} = \frac{b \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5b}{20}$

Теперь выполним вычитание дробей:
$1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4} = \frac{20}{20} - \frac{4a}{20} - \frac{5b}{20} = \frac{20 - 4a - 5b}{20}$

Ответ: $\frac{20 - 4a - 5b}{20}$

б) Для выражения $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ общим знаменателем будет $ab$.

Приведем все члены к этому знаменателю:
$12 = \frac{12ab}{ab}$
$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b}{ab}$
$\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a}{ab}$

Выполним вычитание:
$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{12ab}{ab} - \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{12ab - b - a}{ab}$

Ответ: $\frac{12ab - a - b}{ab}$

в) Для выражения $\frac{a-2}{2} - 1 - \frac{a-3}{3}$ общим знаменателем является 6.

Приведем все члены к знаменателю 6:
$\frac{a-2}{2} = \frac{(a-2) \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3a-6}{6}$
$1 = \frac{6}{6}$
$\frac{a-3}{3} = \frac{(a-3) \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2a-6}{6}$

Теперь объединим дроби, обращая внимание на знаки:
$\frac{3a-6}{6} - \frac{6}{6} - \frac{2a-6}{6} = \frac{(3a-6) - 6 - (2a-6)}{6} = \frac{3a-6-6-2a+6}{6}$

Упростим числитель:
$3a-2a-6-6+6 = a-6$

Результат:
$\frac{a-6}{6}$

Ответ: $\frac{a-6}{6}$

г) Для выражения $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3}$ общим знаменателем является 12.

Приведем все члены к знаменателю 12:
$4a = \frac{4a \cdot 12}{12} = \frac{48a}{12}$
$\frac{a-1}{4} = \frac{(a-1) \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3a-3}{12}$
$\frac{a+2}{3} = \frac{(a+2) \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4a+8}{12}$

Объединим дроби:
$\frac{48a}{12} - \frac{3a-3}{12} - \frac{4a+8}{12} = \frac{48a - (3a-3) - (4a+8)}{12} = \frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12}$

Упростим числитель:
$(48a - 3a - 4a) + (3 - 8) = 41a - 5$

Результат:
$\frac{41a - 5}{12}$

Ответ: $\frac{41a - 5}{12}$

д) Для выражения $\frac{a+b}{4} - a + b$ общим знаменателем является 4.

Приведем все члены к знаменателю 4:
$-a = -\frac{4a}{4}$
$b = \frac{4b}{4}$

Объединим дроби:
$\frac{a+b}{4} - \frac{4a}{4} + \frac{4b}{4} = \frac{a+b - 4a + 4b}{4}$

Упростим числитель:
$(a - 4a) + (b + 4b) = -3a + 5b = 5b - 3a$

Результат:
$\frac{5b-3a}{4}$

Ответ: $\frac{5b - 3a}{4}$

е) Для выражения $a + b - \frac{a^2 + b^2}{a}$ общим знаменателем является $a$.

Приведем все члены к знаменателю $a$:
$a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$
$b = \frac{b \cdot a}{a} = \frac{ab}{a}$

Объединим дроби:
$\frac{a^2}{a} + \frac{ab}{a} - \frac{a^2+b^2}{a} = \frac{a^2 + ab - (a^2+b^2)}{a} = \frac{a^2 + ab - a^2 - b^2}{a}$

Упростим числитель:
$a^2 - a^2 + ab - b^2 = ab - b^2$

Результат:
$\frac{ab-b^2}{a}$

Ответ: $\frac{ab - b^2}{a}$