Номер 85, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 85, страница 24.

85. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $

б) $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $

в) $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $

г) $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $

а) Чтобы преобразовать выражение в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $

Знаменатели дробей — $5(x+y)$ и $3(x+y)$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $15(x+y)$, поскольку наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 5 и 3 равно 15.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:

Для первой дроби: $ \frac{15(x+y)}{5(x+y)} = 3 $.

Для второй дроби: $ \frac{15(x+y)}{3(x+y)} = 5 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание дробей:

$ \frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x}{15(x+y)} - \frac{10y}{15(x+y)} = \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

Ответ: $ \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

б) Преобразуем выражение в дробь, приведя дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $

Знаменатели дробей — $5(a-b)$ и $4(a-b)$. Наименьший общий знаменатель будет $20(a-b)$, так как НОК для чисел 5 и 4 равно 20.

Дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{20(a-b)}{5(a-b)} = 4 $.

Для второй дроби: $ \frac{20(a-b)}{4(a-b)} = 5 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2}{20(a-b)} - \frac{5b^2}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

в) Сначала упростим знаменатели, вынеся общие множители за скобки.

Исходное выражение: $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $

Разложим знаменатели на множители:

$ ax - ay = a(x-y) $

$ by - bx = b(y-x) = -b(x-y) $

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение. Знак "плюс" перед второй дробью изменится на "минус", так как мы вынесли -1 из знаменателя:

$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен $ab(x-y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $b$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $a$.

Выполним преобразование:

$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $

Ответ: $ \frac{3b-2a}{ab(x-y)} $

г) Упростим знаменатели, вынеся общие множители за скобки.

Исходное выражение: $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $

Разложим знаменатели на множители:

$ bm - bn = b(m-n) $

$ cn - cm = c(n-m) = -c(m-n) $

Подставим разложенные знаменатели в выражение. Знак "минус" перед второй дробью изменится на "плюс", так как "минус" на "минус" дает "плюс":

$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $bc(m-n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $c$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $b$.

Приведем к общему знаменателю и сложим числители:

$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $

Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $