Номер 88, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 88, страница 25.

88. Упростите выражение:

а) $\frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a}$;

б) $\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a} $, приведем дроби к общему знаменателю.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ ax - x^2 = x(a - x) $.
2. Заметим, что знаменатель второй дроби $ x - a $ противоположен множителю $ a - x $. Представим $ x - a $ как $ -(a - x) $. Это позволит нам изменить знак перед второй дробью:
$ \frac{a^2}{x(a - x)} + \frac{x}{-(a - x)} = \frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x} $
3. Теперь общий знаменатель — $ x(a - x) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $ x $:
$ \frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x \cdot x}{x(a - x)} = \frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} $
4. Числитель полученной дроби $ a^2 - x^2 $ является разностью квадратов. Разложим его на множители: $ a^2 - x^2 = (a - x)(a + x) $.
5. Подставим разложенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:
$ \frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)} = \frac{a + x}{x} $
Ответ: $ \frac{a + x}{x} $

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y} $, выполним следующие действия:
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ 2y^2 - by = y(2y - b) $.
2. Знаменатель второй дроби $ b - 2y $ противоположен множителю $ 2y - b $. Представим $ b - 2y $ как $ -(2y - b) $. Знак "минус" перед дробью изменится на "плюс":
$ \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} - \frac{4y}{-(2y - b)} = \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} + \frac{4y}{2y - b} $
3. Общий знаменатель — $ y(2y - b) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ y $:
$ \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} + \frac{4y \cdot y}{y(2y - b)} = \frac{b^2 - 4by + 4y^2}{y(2y - b)} $
4. Выражение в числителе $ b^2 - 4by + 4y^2 $ является полным квадратом разности по формуле $ (m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 $. В нашем случае это $ (b - 2y)^2 $.
5. Подставим полученный квадрат в дробь:
$ \frac{(b - 2y)^2}{y(2y - b)} $
6. Так как $ (b - 2y)^2 = (-(2y - b))^2 = (2y - b)^2 $, мы можем переписать числитель для удобства сокращения:
$ \frac{(2y - b)^2}{y(2y - b)} = \frac{2y - b}{y} $
Ответ: $ \frac{2y - b}{y} $