Номер 94, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 94, страница 25.

94. Упростите выражение:

а) $ \frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4}; $

б) $ \frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4}, $

в) $ \frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}; $

г) $ \frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10}. $

а) $\frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4}$

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $a^2-2a = a(a-2)$.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

Общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей: $a(a-2)(a+2)$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби это $(a+2)$, для второй — $a$.

$\frac{(a+4)(a+2)}{a(a-2)(a+2)} - \frac{a \cdot a}{a(a-2)(a+2)} = \frac{(a+4)(a+2) - a^2}{a(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2+2a+4a+8 - a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)}$

Знаменатель можно записать в виде $a(a^2-4)$. В числителе можно вынести общий множитель 2:

$\frac{2(3a+4)}{a(a^2-4)}$

Ответ: $\frac{6a+8}{a(a^2-4)}$

б) $\frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $16-x^2 = (4-x)(4+x)$.

Заметим, что знаменатель второй дроби, $(x+4)$, является одним из множителей знаменателя первой дроби.

Общий знаменатель: $(4-x)(4+x)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(4-x)$.

$\frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{(x+1)(4-x)}{(4+x)(4-x)} = \frac{(4-x^2) - (x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+1)(4-x) = 4x - x^2 + 4 - x = -x^2 + 3x + 4$.

Теперь подставим это в числитель и упростим:

$\frac{4-x^2 - (-x^2+3x+4)}{(4-x)(4+x)} = \frac{4-x^2+x^2-3x-4}{(4-x)(4+x)} = \frac{-3x}{16-x^2}$

Чтобы избавиться от минуса в числителе, можно поменять знаки в знаменателе:

$\frac{-3x}{16-x^2} = \frac{3x}{-(16-x^2)} = \frac{3x}{x^2-16}$

Ответ: $\frac{3x}{x^2-16}$

в) $\frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}$

Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:

$a^2+ab = a(a+b)$

$a^2-ab = a(a-b)$

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)}$

Сократим дроби. В первой дроби сократим на $(a+b)$, во второй — на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(a+b) + (a-b)}{a} = \frac{a+b+a-b}{a} = \frac{2a}{a}$

Сократим полученную дробь на $a$:

$\frac{2a}{a} = 2$

Ответ: $2$

г) $\frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10}$

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Первая дробь:

Числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (разность квадратов).

Знаменатель: $5x-10 = 5(x-2)$.

Вторая дробь:

Числитель: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ (квадрат суммы).

Знаменатель: $5x+10 = 5(x+2)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} - \frac{(x+2)^2}{5(x+2)}$

Сократим каждую дробь:

$\frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5}$

Мы вычитаем из выражения само себя, поэтому результат равен нулю.

$\frac{(x+2)-(x+2)}{5} = \frac{0}{5} = 0$

Ответ: $0$