Номер 93, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 93, страница 25.

93. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$;

В) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$;

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$;

Г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$.

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $4-b^2$ является разностью квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$. В знаменателе второй дроби $2b-b^2$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $2b-b^2 = b(2-b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b-6}{(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $b(2-b)(2+b)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй дроби на $(2+b)$:

$\frac{(b-6) \cdot b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2 \cdot (2+b)}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b(b-6) + 2(2+b)}{b(2-b)(2+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}$

Числитель $b^2-4b+4$ является полным квадратом разности $(b-2)^2$. Заметим, что $(b-2)^2 = (-(2-b))^2 = (2-b)^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(2+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2-b)$:

$\frac{2-b}{b(2+b)}$

Ответ: $\frac{2-b}{b(b+2)}$

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$

Разложим знаменатели на множители. В знаменателе $ab-5a^2$ вынесем общий множитель $a$: $a(b-5a)$. Знаменатель $b^2-25a^2$ является разностью квадратов: $(b-5a)(b+5a)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b}{a(b-5a)} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $a(b-5a)(b+5a)$. Домножим первую дробь на $(b+5a)$, а вторую на $a$:

$\frac{b(b+5a)}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b(b+5a) - a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{b^2+5ab - 15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Числитель $b^2-10ab+25a^2$ является полным квадратом разности $(b-5a)^2$.

$\frac{(b-5a)^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-5a)$:

$\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

Ответ: $\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

в) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$

Разложим знаменатели на множители. $x^2-16a^2 = (x-4a)(x+4a)$ (разность квадратов). $4ax-x^2 = x(4a-x)$. Чтобы получить общий множитель, вынесем $-1$: $x(4a-x) = -x(x-4a)$.

Выражение принимает вид: $\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} - \frac{4a}{-x(x-4a)}$.

Знак "минус" перед второй дробью и в ее знаменателе взаимно уничтожаются, заменяя вычитание на сложение:

$\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a}{x(x-4a)}$

Наименьший общий знаменатель $x(x-4a)(x+4a)$. Домножим первую дробь на $x$, а вторую на $(x+4a)$:

$\frac{x(x-12a)}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2-12ax + 4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Числитель $x^2-8ax+16a^2$ является полным квадратом разности $(x-4a)^2$.

$\frac{(x-4a)^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4a)$:

$\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$

Разложим знаменатели на множители. $a^2-100y^2 = (a-10y)(a+10y)$ (разность квадратов). $10ay-a^2 = a(10y-a) = -a(a-10y)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} - \frac{10y}{-a(a-10y)}$.

Заменим знак вычитания на сложение, изменив знак в знаменателе второй дроби:

$\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(a-10y)}$

Наименьший общий знаменатель $a(a-10y)(a+10y)$. Домножим первую дробь на $a$, а вторую на $(a+10y)$:

$\frac{a(a-30y)}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a(a-30y) + 10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2-30ay + 10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Числитель $a^2-20ay+100y^2$ является полным квадратом разности $(a-10y)^2$.

$\frac{(a-10y)^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-10y)$:

$\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

Ответ: $\frac{a-10y}{a(a+10y)}$