Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

88. Упростите выражение:

а) $\frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a}$;

б) $\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a} $, приведем дроби к общему знаменателю.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ ax - x^2 = x(a - x) $.
2. Заметим, что знаменатель второй дроби $ x - a $ противоположен множителю $ a - x $. Представим $ x - a $ как $ -(a - x) $. Это позволит нам изменить знак перед второй дробью:
$ \frac{a^2}{x(a - x)} + \frac{x}{-(a - x)} = \frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x} $
3. Теперь общий знаменатель — $ x(a - x) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $ x $:
$ \frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x \cdot x}{x(a - x)} = \frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} $
4. Числитель полученной дроби $ a^2 - x^2 $ является разностью квадратов. Разложим его на множители: $ a^2 - x^2 = (a - x)(a + x) $.
5. Подставим разложенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:
$ \frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)} = \frac{a + x}{x} $
Ответ: $ \frac{a + x}{x} $

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y} $, выполним следующие действия:
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ 2y^2 - by = y(2y - b) $.
2. Знаменатель второй дроби $ b - 2y $ противоположен множителю $ 2y - b $. Представим $ b - 2y $ как $ -(2y - b) $. Знак "минус" перед дробью изменится на "плюс":
$ \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} - \frac{4y}{-(2y - b)} = \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} + \frac{4y}{2y - b} $
3. Общий знаменатель — $ y(2y - b) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ y $:
$ \frac{b^2 - 4by}{y(2y - b)} + \frac{4y \cdot y}{y(2y - b)} = \frac{b^2 - 4by + 4y^2}{y(2y - b)} $
4. Выражение в числителе $ b^2 - 4by + 4y^2 $ является полным квадратом разности по формуле $ (m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 $. В нашем случае это $ (b - 2y)^2 $.
5. Подставим полученный квадрат в дробь:
$ \frac{(b - 2y)^2}{y(2y - b)} $
6. Так как $ (b - 2y)^2 = (-(2y - b))^2 = (2y - b)^2 $, мы можем переписать числитель для удобства сокращения:
$ \frac{(2y - b)^2}{y(2y - b)} = \frac{2y - b}{y} $
Ответ: $ \frac{2y - b}{y} $

90. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $1 - \frac{a+b}{a-b}$;

б) $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a$;

в) $m - n + \frac{n^2}{m+n}$;

г) $a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b}$;

д) $x - \frac{9}{x-3} - 3$;

е) $a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1$.

а)

Чтобы преобразовать выражение $1 - \frac{a+b}{a-b}$ в дробь, необходимо привести его к общему знаменателю, который равен $a-b$.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем $a-b$: $1 = \frac{a-b}{a-b}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$1 - \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} - \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a-b) - (a+b)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b}$

Ответ: $\frac{-2b}{a-b}$

б)

Приведем выражение $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a$ к общему знаменателю $a-b$.

Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a-b$: $a = \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2-ab}{a-b}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a^2-ab}{a-b} = \frac{(a^2+b^2) - (a^2-ab)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{b^2+ab}{a-b}$

в)

Для преобразования выражения $m-n + \frac{n^2}{m+n}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $m+n$.

Представим двучлен $m-n$ в виде дроби со знаменателем $m+n$: $m-n = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n}$.

Используя формулу разности квадратов в числителе, получим: $\frac{m^2-n^2}{m+n}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{m^2-n^2}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$

г)

Приведем выражение $a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b}$ к общему знаменателю $a+b$.

Представим $a+b$ в виде дроби: $a+b = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}$.

Раскроем квадрат суммы в числителе: $\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a+b}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

д)

Сгруппируем слагаемые: $x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3}$.

Приведем к общему знаменателю $x-3$:

$(x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2-9}{x-3}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$\frac{(x^2-6x+9)-9}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3}$

Ответ: $\frac{x^2-6x}{x-3}$

е)

Сгруппируем слагаемые: $a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1}$.

Приведем к общему знаменателю $a^2-1$:

$(a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1}$

Используем формулу разности квадратов в числителе первого слагаемого:

$\frac{a^4-1}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1}$

Упростим числитель:

$\frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$

92. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2-3bc}{b^2-c^2} $;

б) $ \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} $.

а) $\frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2}$

Для выполнения сложения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Общим знаменателем является выражение $(b-c)(b+c)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(b+c)$:

$\frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{c(b+c) + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b^2 - 2bc + c^2}{(b-c)(b+c)}$

Числитель является полным квадратом разности: $b^2 - 2bc + c^2 = (b-c)^2$. Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-c)$:

$\frac{b-c}{b+c}$

Ответ: $\frac{b-c}{b+c}$

б) $\frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + a = a(a+1)$.

Исходное выражение примет вид:

$\frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)}$

Наименьшим общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей: $a(a-1)(a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-1)$:

$\frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)}$

Числитель является полным квадратом суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:

$\frac{a+1}{a(a-1)}$

Ответ: $\frac{a+1}{a(a-1)}$

94. Упростите выражение:

а) $ \frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4}; $

б) $ \frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4}, $

в) $ \frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}; $

г) $ \frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10}. $

а) $\frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4}$

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $a^2-2a = a(a-2)$.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

Общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей: $a(a-2)(a+2)$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби это $(a+2)$, для второй — $a$.

$\frac{(a+4)(a+2)}{a(a-2)(a+2)} - \frac{a \cdot a}{a(a-2)(a+2)} = \frac{(a+4)(a+2) - a^2}{a(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2+2a+4a+8 - a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)}$

Знаменатель можно записать в виде $a(a^2-4)$. В числителе можно вынести общий множитель 2:

$\frac{2(3a+4)}{a(a^2-4)}$

Ответ: $\frac{6a+8}{a(a^2-4)}$

б) $\frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $16-x^2 = (4-x)(4+x)$.

Заметим, что знаменатель второй дроби, $(x+4)$, является одним из множителей знаменателя первой дроби.

Общий знаменатель: $(4-x)(4+x)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(4-x)$.

$\frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{(x+1)(4-x)}{(4+x)(4-x)} = \frac{(4-x^2) - (x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+1)(4-x) = 4x - x^2 + 4 - x = -x^2 + 3x + 4$.

Теперь подставим это в числитель и упростим:

$\frac{4-x^2 - (-x^2+3x+4)}{(4-x)(4+x)} = \frac{4-x^2+x^2-3x-4}{(4-x)(4+x)} = \frac{-3x}{16-x^2}$

Чтобы избавиться от минуса в числителе, можно поменять знаки в знаменателе:

$\frac{-3x}{16-x^2} = \frac{3x}{-(16-x^2)} = \frac{3x}{x^2-16}$

Ответ: $\frac{3x}{x^2-16}$

в) $\frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}$

Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:

$a^2+ab = a(a+b)$

$a^2-ab = a(a-b)$

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)}$

Сократим дроби. В первой дроби сократим на $(a+b)$, во второй — на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(a+b) + (a-b)}{a} = \frac{a+b+a-b}{a} = \frac{2a}{a}$

Сократим полученную дробь на $a$:

$\frac{2a}{a} = 2$

Ответ: $2$

г) $\frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10}$

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Первая дробь:

Числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (разность квадратов).

Знаменатель: $5x-10 = 5(x-2)$.

Вторая дробь:

Числитель: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ (квадрат суммы).

Знаменатель: $5x+10 = 5(x+2)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} - \frac{(x+2)^2}{5(x+2)}$

Сократим каждую дробь:

$\frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5}$

Мы вычитаем из выражения само себя, поэтому результат равен нулю.

$\frac{(x+2)-(x+2)}{5} = \frac{0}{5} = 0$

Ответ: $0$

87. Докажите, что при всех допустимых значениях $y$ значение выражения не зависит от $y$:

a) $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$

б) $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y, необходимо его упростить. Сначала определим допустимые значения переменной y. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2y+2 \neq 0 \Rightarrow 2(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$

$3y+3 \neq 0 \Rightarrow 3(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$

Следовательно, выражение определено для всех значений y, кроме $y = -1$.

Теперь упростим данное выражение: $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$.

Вынесем общий множитель в знаменателях:

$\frac{5y+3}{2(y+1)} - \frac{7y+4}{3(y+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $6(y+1)$:

$\frac{3(5y+3)}{6(y+1)} - \frac{2(7y+4)}{6(y+1)} = \frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{15y+9 - (14y+8)}{6(y+1)} = \frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)} = \frac{(15y-14y) + (9-8)}{6(y+1)} = \frac{y+1}{6(y+1)}$

Поскольку $y \neq -1$, то $y+1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y+1)$:

$\frac{1}{6}$

В результате упрощения мы получили число $\frac{1}{6}$, которое не зависит от переменной y. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ: значение выражения равно $\frac{1}{6}$.

б) Упростим выражение $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$.

Найдем область допустимых значений y. Знаменатели не должны обращаться в ноль:

$3y-3 \neq 0 \Rightarrow 3(y-1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

$4-4y \neq 0 \Rightarrow 4(1-y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

Выражение определено для всех значений y, кроме $y = 1$.

Преобразуем знаменатели, вынеся за скобки общий множитель:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{4(1-y)}$

Во втором знаменателе $1-y = -(y-1)$, поэтому изменим знак перед второй дробью:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} - \frac{15y+17}{4(y-1)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $12(y-1)$:

$\frac{4(11y+13)}{12(y-1)} - \frac{3(15y+17)}{12(y-1)} = \frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{44y+52 - (45y+51)}{12(y-1)} = \frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)} = \frac{(44y-45y) + (52-51)}{12(y-1)} = \frac{-y+1}{12(y-1)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)}$

Так как $y \neq 1$, то $y-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y-1)$:

$-\frac{1}{12}$

Результат упрощения, $-\frac{1}{12}$, является константой и не зависит от y, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $-\frac{1}{12}$.

89. Упростите выражение:

а) $\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2};$

б) $\frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2}$

1. Разложим знаменатели дробей на множители. В первом знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во втором — $b$.

$a^2 + ab = a(a+b)$

$ab + b^2 = b(a+b)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей с такими знаменателями будет $ab(a+b)$.

3. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $b$, а второй дроби — на множитель $a$.

$\frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)}$

4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{b+a}{ab(a+b)}$

5. В числителе получилось выражение $(b+a)$, которое равно $(a+b)$. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$.

$\frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б)

Исходное выражение: $\frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2}$

1. Разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе вынесем за скобки $b$, во втором — $a$.

$b^2 - ab = b(b-a)$

$ab - a^2 = a(b-a)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{b(b-a)} - \frac{1}{a(b-a)}$

2. Общий знаменатель для этих дробей равен $ab(b-a)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, а для второй — $b$.

$\frac{1 \cdot a}{b(b-a) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(b-a) \cdot b} = \frac{a}{ab(b-a)} - \frac{b}{ab(b-a)}$

4. Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{a-b}{ab(b-a)}$

5. Заметим, что числитель $a-b$ и множитель в знаменателе $b-a$ отличаются только знаком. Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $a-b = -(b-a)$.

$\frac{-(b-a)}{ab(b-a)}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(b-a)$.

$\frac{-1}{ab} = -\frac{1}{ab}$

Ответ: $-\frac{1}{ab}$

91. Выполните вычитание дробей:

а) $\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40} - \frac{a}{b+8};$

б) $\frac{y}{3x-2} - \frac{3y}{6xy+9x-4y-6}.$

а) $ \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b+8} $

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби методом группировки:

$ ab - 5b + 8a - 40 = (ab - 5b) + (8a - 40) = b(a - 5) + 8(a - 5) = (a - 5)(b + 8) $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b+8} $

Общим знаменателем является $ (a - 5)(b + 8) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a - 5) $:

$ \frac{a(a - 5)}{(b+8)(a - 5)} = \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{(a^2 + 3a) - (a^2 - 5a)}{(a - 5)(b + 8)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + 3a - a^2 + 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

Ответ: $ \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

б) $ \frac{y}{3x-2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6} $

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби методом группировки:

$ 6xy + 9x - 4y - 6 = (6xy + 9x) - (4y + 6) = 3x(2y + 3) - 2(2y + 3) = (3x - 2)(2y + 3) $

Перепишем выражение с разложенным знаменателем:

$ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Общий знаменатель - это $ (3x - 2)(2y + 3) $. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (2y + 3) $:

$ \frac{y(2y + 3)}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{(2y^2 + 3y) - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{2y^2 + 3y - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Ответ: $ \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

93. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$;

В) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$;

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$;

Г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$.

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $4-b^2$ является разностью квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$. В знаменателе второй дроби $2b-b^2$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $2b-b^2 = b(2-b)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b-6}{(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $b(2-b)(2+b)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй дроби на $(2+b)$:

$\frac{(b-6) \cdot b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2 \cdot (2+b)}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b(b-6) + 2(2+b)}{b(2-b)(2+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}$

Числитель $b^2-4b+4$ является полным квадратом разности $(b-2)^2$. Заметим, что $(b-2)^2 = (-(2-b))^2 = (2-b)^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(2+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2-b)$:

$\frac{2-b}{b(2+b)}$

Ответ: $\frac{2-b}{b(b+2)}$

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$

Разложим знаменатели на множители. В знаменателе $ab-5a^2$ вынесем общий множитель $a$: $a(b-5a)$. Знаменатель $b^2-25a^2$ является разностью квадратов: $(b-5a)(b+5a)$.

Выражение принимает вид: $\frac{b}{a(b-5a)} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $a(b-5a)(b+5a)$. Домножим первую дробь на $(b+5a)$, а вторую на $a$:

$\frac{b(b+5a)}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b(b+5a) - a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{b^2+5ab - 15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Числитель $b^2-10ab+25a^2$ является полным квадратом разности $(b-5a)^2$.

$\frac{(b-5a)^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-5a)$:

$\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

Ответ: $\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

в) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$

Разложим знаменатели на множители. $x^2-16a^2 = (x-4a)(x+4a)$ (разность квадратов). $4ax-x^2 = x(4a-x)$. Чтобы получить общий множитель, вынесем $-1$: $x(4a-x) = -x(x-4a)$.

Выражение принимает вид: $\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} - \frac{4a}{-x(x-4a)}$.

Знак "минус" перед второй дробью и в ее знаменателе взаимно уничтожаются, заменяя вычитание на сложение:

$\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a}{x(x-4a)}$

Наименьший общий знаменатель $x(x-4a)(x+4a)$. Домножим первую дробь на $x$, а вторую на $(x+4a)$:

$\frac{x(x-12a)}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2-12ax + 4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Числитель $x^2-8ax+16a^2$ является полным квадратом разности $(x-4a)^2$.

$\frac{(x-4a)^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4a)$:

$\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$

Разложим знаменатели на множители. $a^2-100y^2 = (a-10y)(a+10y)$ (разность квадратов). $10ay-a^2 = a(10y-a) = -a(a-10y)$.

Выражение принимает вид: $\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} - \frac{10y}{-a(a-10y)}$.

Заменим знак вычитания на сложение, изменив знак в знаменателе второй дроби:

$\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(a-10y)}$

Наименьший общий знаменатель $a(a-10y)(a+10y)$. Домножим первую дробь на $a$, а вторую на $(a+10y)$:

$\frac{a(a-30y)}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a(a-30y) + 10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2-30ay + 10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Числитель $a^2-20ay+100y^2$ является полным квадратом разности $(a-10y)^2$.

$\frac{(a-10y)^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-10y)$:

$\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

Ответ: $\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

95. Упростите выражение и найдите его значение при $x = -1,5$:

а) $\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$;

б) $\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$.

а) $\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$

1. Упростим выражение.

Сначала разложим знаменатели на множители. В первой дроби вынесем $x$ за скобки, а во второй применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-x = x(x-1)$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель для этих дробей будет $x(x-1)(x+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{(x+1)^2 - x(x+2)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2+2x+1) - (x^2+2x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)}$

Упрощенное выражение: $\frac{1}{x(x^2-1)}$ или $\frac{1}{x^3-x}$.

2. Найдем значение выражения при $x = -1,5$.

Подставим $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-1,5(-1,5-1)(-1,5+1)} = \frac{1}{-1,5(-2,5)(-0,5)}$

Перемножим числа в знаменателе. Удобнее это сделать, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:

$-1,5 = -\frac{3}{2}$; $-2,5 = -\frac{5}{2}$; $-0,5 = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-(\frac{3 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2})} = \frac{1}{-\frac{15}{8}} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$.

б) $\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$

1. Упростим выражение.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2+3x = x(x+3)$

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$ (по формуле разности квадратов)

Выражение принимает вид:

$\frac{x+2}{x(x+3)} - \frac{1+x}{(x-3)(x+3)}$

Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{(x+2)(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(1+x)}{x(x-3)(x+3)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{(x+2)(x-3) - x(1+x)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{(x^2-3x+2x-6) - (x+x^2)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-x-6-x-x^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2x-6}{x(x-3)(x+3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2}{x(x-3)}$

Упрощенное выражение: $\frac{-2}{x^2-3x}$.

2. Найдем значение выражения при $x = -1,5$.

Подставим $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{-1,5(-1,5-3)} = \frac{-2}{-1,5(-4,5)} = \frac{-2}{1,5 \cdot 4,5}$

Перейдем к обыкновенным дробям для удобства вычислений:

$1,5 = \frac{3}{2}$; $4,5 = \frac{9}{2}$

$\frac{-2}{\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2}} = \frac{-2}{\frac{27}{4}} = -2 \cdot \frac{4}{27} = -\frac{8}{27}$

Ответ: $-\frac{8}{27}$.