Номер 91, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 91, страница 25.

91. Выполните вычитание дробей:

а) $\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40} - \frac{a}{b+8};$

б) $\frac{y}{3x-2} - \frac{3y}{6xy+9x-4y-6}.$

а) $ \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b+8} $

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби методом группировки:

$ ab - 5b + 8a - 40 = (ab - 5b) + (8a - 40) = b(a - 5) + 8(a - 5) = (a - 5)(b + 8) $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b+8} $

Общим знаменателем является $ (a - 5)(b + 8) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a - 5) $:

$ \frac{a(a - 5)}{(b+8)(a - 5)} = \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{(a^2 + 3a) - (a^2 - 5a)}{(a - 5)(b + 8)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + 3a - a^2 + 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

Ответ: $ \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

б) $ \frac{y}{3x-2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6} $

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби методом группировки:

$ 6xy + 9x - 4y - 6 = (6xy + 9x) - (4y + 6) = 3x(2y + 3) - 2(2y + 3) = (3x - 2)(2y + 3) $

Перепишем выражение с разложенным знаменателем:

$ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Общий знаменатель - это $ (3x - 2)(2y + 3) $. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (2y + 3) $:

$ \frac{y(2y + 3)}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{(2y^2 + 3y) - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{2y^2 + 3y - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Ответ: $ \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $