Номер 90, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 90, страница 25.

90. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $1 - \frac{a+b}{a-b}$;

б) $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a$;

в) $m - n + \frac{n^2}{m+n}$;

г) $a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b}$;

д) $x - \frac{9}{x-3} - 3$;

е) $a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1$.

а)

Чтобы преобразовать выражение $1 - \frac{a+b}{a-b}$ в дробь, необходимо привести его к общему знаменателю, который равен $a-b$.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем $a-b$: $1 = \frac{a-b}{a-b}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$1 - \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} - \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a-b) - (a+b)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b}$

Ответ: $\frac{-2b}{a-b}$

б)

Приведем выражение $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a$ к общему знаменателю $a-b$.

Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a-b$: $a = \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2-ab}{a-b}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a^2-ab}{a-b} = \frac{(a^2+b^2) - (a^2-ab)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{b^2+ab}{a-b}$

в)

Для преобразования выражения $m-n + \frac{n^2}{m+n}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $m+n$.

Представим двучлен $m-n$ в виде дроби со знаменателем $m+n$: $m-n = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n}$.

Используя формулу разности квадратов в числителе, получим: $\frac{m^2-n^2}{m+n}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{m^2-n^2}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$

г)

Приведем выражение $a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b}$ к общему знаменателю $a+b$.

Представим $a+b$ в виде дроби: $a+b = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}$.

Раскроем квадрат суммы в числителе: $\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a+b}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

д)

Сгруппируем слагаемые: $x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3}$.

Приведем к общему знаменателю $x-3$:

$(x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2-9}{x-3}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$\frac{(x^2-6x+9)-9}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3}$

Ответ: $\frac{x^2-6x}{x-3}$

е)

Сгруппируем слагаемые: $a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1}$.

Приведем к общему знаменателю $a^2-1$:

$(a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1}$

Используем формулу разности квадратов в числителе первого слагаемого:

$\frac{a^4-1}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1}$

Упростим числитель:

$\frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$