Номер 83, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 83, страница 24.

83. Упростите выражение:

a) $x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4};$

б) $\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x};$

в) $3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12};$

г) $\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2.$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 2 и 4, а также для члена $x$ (который можно представить как $\frac{x}{1}$), равен 4. Умножим числитель и знаменатель каждого члена на соответствующий дополнительный множитель:

$x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4} = \frac{x \cdot 4}{4} - \frac{(x-y) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x+y}{4} = \frac{4x}{4} - \frac{2(x-y)}{4} + \frac{x+y}{4}$

Теперь, когда все члены имеют одинаковый знаменатель, можно объединить их числители:

$\frac{4x - 2(x-y) + (x+y)}{4}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:

$\frac{4x - 2x + 2y + x + y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x - 2x + x) + (2y + y)}{4} = \frac{3x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{3x+3y}{4}$

б) В этом выражении два слагаемых уже имеют общий знаменатель $x$. Сначала сгруппируем и упростим их. Член $-2$ можно представить как дробь со знаменателем $x$, то есть $\frac{2x}{x}$.

$\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x} = (\frac{3}{x} - \frac{5}{x}) - 2 = \frac{3-5}{x} - 2 = \frac{-2}{x} - 2$

Чтобы записать выражение в виде одной дроби, приведем $-2$ к знаменателю $x$:

$\frac{-2}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{-2-2x}{x}$

Для более удобной записи можно вынести общий множитель $-2$ в числителе или просто вынести минус перед всей дробью:

$\frac{-2(1+x)}{x}$ или $-\frac{2x+2}{x}$

Ответ: $-\frac{2x+2}{x}$

в) Для упрощения этого выражения необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 12 является 12. Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем 12:

$3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12} = \frac{3 \cdot 12}{12} - \frac{(2x-y) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{x+4y}{12} = \frac{36}{12} - \frac{3(2x-y)}{12} + \frac{x+4y}{12}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{36 - 3(2x-y) + (x+4y)}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36 - 6x + 3y + x + 4y}{12}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(-6x + x) + (3y + 4y) + 36}{12} = \frac{-5x + 7y + 36}{12}$

Ответ: $\frac{36-5x+7y}{12}$

г) Чтобы упростить выражение, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 равен 15. Представим член $-2$ как $\frac{-2}{1}$.

$\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2 = \frac{(6a-4b) \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{(b+7a) \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 15}{15} = \frac{3(6a-4b)}{15} - \frac{5(b+7a)}{15} - \frac{30}{15}$

Запишем всё под одним знаменателем:

$\frac{3(6a-4b) - 5(b+7a) - 30}{15}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18a - 12b - 5b - 35a - 30}{15}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(18a - 35a) + (-12b - 5b) - 30}{15} = \frac{-17a - 17b - 30}{15}$

Можно вынести знак минус за скобки в числителе или перед всей дробью:

$-\frac{17a + 17b + 30}{15}$

Ответ: $\frac{-17a-17b-30}{15}$