Номер 86, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 86, страница 24.

86. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$;

б) $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$;

в) $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$;

г) $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$.

а)

Исходное выражение: $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$.

Чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(3x-2)$, а второй дроби — на $(2x+1)$:

$\frac{p(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} - \frac{p(2x+1)}{(3x-2)(2x+1)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно вычесть числители:

$\frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$p(3x-2) - p(2x+1) = 3px - 2p - (2px + p) = 3px - 2p - 2px - p = (3px - 2px) + (-2p - p) = px - 3p$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки в числителе: $p(x-3)$.

В результате получаем:

$\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$

Ответ: $\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$.

б)

Исходное выражение: $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$.

Знаменатели дробей $x-2y$ и $x+y$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(x-2y)(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+y)$, для второй — $(x-2y)$.

$\frac{6a(x+y)}{(x-2y)(x+y)} + \frac{2a(x-2y)}{(x+y)(x-2y)}$

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$6a(x+y) + 2a(x-2y) = 6ax + 6ay + 2ax - 4ay = (6ax+2ax) + (6ay-4ay) = 8ax + 2ay$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a(4x+y)$.

Окончательный вид дроби:

$\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$

Ответ: $\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$.

в)

Исходное выражение: $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$.

Для нахождения общего знаменателя разложим знаменатели на множители:

$5x-10 = 5(x-2)$

$6x-12 = 6(x-2)$

Выражение принимает вид: $\frac{a}{5(x-2)} + \frac{a}{6(x-2)}$.

Наименьший общий знаменатель для $5(x-2)$ и $6(x-2)$ — это произведение наименьшего общего кратного чисел 5 и 6 на общий множитель $(x-2)$. НОК(5, 6) = 30. Значит, НОЗ равен $30(x-2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $\frac{30(x-2)}{5(x-2)} = 6$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $\frac{30(x-2)}{6(x-2)} = 5$.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

$\frac{a \cdot 6}{30(x-2)} + \frac{a \cdot 5}{30(x-2)} = \frac{6a+5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}$

Ответ: $\frac{11a}{30(x-2)}$.

г)

Исходное выражение: $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$12a-36 = 12(a-3)$

$48-16a = 16(3-a)$

Заметим, что $3-a = -(a-3)$. Поэтому знаменатель второй дроби можно переписать как $16(-(a-3)) = -16(a-3)$.

Выражение преобразуется к виду:

$\frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}$

Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе дают "плюс":

$\frac{5b}{12(a-3)} + \frac{b}{16(a-3)}$

Теперь находим общий знаменатель для $12(a-3)$ и $16(a-3)$. Наименьшее общее кратное для 12 и 16 равно 48. Таким образом, НОЗ равен $48(a-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{48}{12} = 4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{48}{16} = 3$.

Выполняем сложение:

$\frac{5b \cdot 4}{48(a-3)} + \frac{b \cdot 3}{48(a-3)} = \frac{20b + 3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}$

Ответ: $\frac{23b}{48(a-3)}$.