Номер 92, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 92, страница 25.

92. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2-3bc}{b^2-c^2} $;

б) $ \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} $.

а) $\frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2}$

Для выполнения сложения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Общим знаменателем является выражение $(b-c)(b+c)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(b+c)$:

$\frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{c(b+c) + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b^2 - 2bc + c^2}{(b-c)(b+c)}$

Числитель является полным квадратом разности: $b^2 - 2bc + c^2 = (b-c)^2$. Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-c)$:

$\frac{b-c}{b+c}$

Ответ: $\frac{b-c}{b+c}$

б) $\frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + a = a(a+1)$.

Исходное выражение примет вид:

$\frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)}$

Наименьшим общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей: $a(a-1)(a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-1)$:

$\frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)}$

Числитель является полным квадратом суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:

$\frac{a+1}{a(a-1)}$

Ответ: $\frac{a+1}{a(a-1)}$