Номер 99, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 99, страница 26.

99. Докажите, что тождественно равны выражения:

а) $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}$ и $a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}$;

б) $\frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2}$ и $a - 1$.

а) Чтобы доказать, что выражения тождественно равны, необходимо преобразовать их и показать, что они приводятся к одному и тому же виду. Преобразуем оба выражения по очереди.

1. Упростим первое выражение: $\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$.
Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2-3a = a(a-3)$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3}$.
Общий знаменатель для этих дробей — $a(a-3)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $a$:
$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{(a-3) \cdot a} = \frac{3 + a^3}{a(a-3)}$.

2. Упростим второе выражение: $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$.
Знаменатель дроби $a^2-3a$ равен $a(a-3)$. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a(a-3)$:
$a+3 + \frac{9a+3}{a(a-3)} = \frac{(a+3) \cdot a(a-3)}{a(a-3)} + \frac{9a+3}{a(a-3)}$.
Раскроем скобки в числителе первого слагаемого: $(a+3) \cdot a(a-3) = a(a+3)(a-3) = a(a^2-9) = a^3-9a$.
Теперь сложим числители:
$\frac{a^3-9a + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$.

Поскольку оба исходных выражения приводятся к одному и тому же виду $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, они тождественно равны.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, упростим левое, более сложное выражение, и покажем, что оно равно правому выражению.

Рассмотрим выражение $\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
Это и есть общий знаменатель для всех трёх дробей. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Теперь объединим все дроби в одну, выполнив вычитание в числителе:
$\frac{a^3 - a(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$a^3 - (a^2+2a) - (2a-4) = a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4 = a^3 - a^2 - 4a + 4$.
Теперь разложим числитель на множители методом группировки:
$(a^3 - a^2) - (4a - 4) = a^2(a-1) - 4(a-1) = (a^2-4)(a-1)$.
Подставим полученный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^2-4)$ (при условии, что $a \neq \pm 2$):
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4} = a-1$.
Мы преобразовали левое выражение и получили $a-1$, что в точности совпадает с правым выражением. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.