Номер 106, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 106, страница 27.

106. Постройте графики функций $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$ и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

Построение графиков и нахождение точки их пересечения

Чтобы построить графики функций, нужно найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой.

1. Для функции $y = -4x + 1$ составим таблицу значений:

$x$	0	1
$y$	1	-3

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(1; -3)$ и проводим через них прямую.

2. Для функции $y = 2x - 3$ составим таблицу значений:

$x$	0	2
$y$	-3	1

На той же координатной плоскости отмечаем точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$ и проводим вторую прямую.

Построив обе прямые, находим их точку пересечения. Поскольку координаты точки пересечения не являются целыми числами, графический метод дает лишь приблизительный результат. Визуально точка пересечения имеет координаты примерно $(0.7; -1.7)$.

Ответ: Приблизительные координаты точки пересечения, найденные графически, равны $(0.7; -1.7)$.

Решение задачи без построения графиков

Чтобы найти точные координаты точки пересечения, необходимо решить систему уравнений, так как в точке пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. $$ \begin{cases} y = -4x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений: $-4x + 1 = 2x - 3$

Решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения: $1 + 3 = 2x + 4x$
$4 = 6x$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти ординату ($y$). Возьмем второе уравнение $y = 2x - 3$: $y = 2 \cdot \frac{2}{3} - 3 = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, точные координаты точки пересечения – $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Сравнение полученных ответов

При графическом решении были получены приблизительные координаты $(0.7; -1.7)$. При алгебраическом решении были найдены точные координаты $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Для сравнения представим точные координаты в виде десятичных дробей: $x = \frac{2}{3} \approx 0.67$ $y = -\frac{5}{3} \approx -1.67$

Сравнивая результаты, видим, что приближенные значения $(0.7; -1.7)$, полученные с помощью графика, очень близки к точным значениям $(\approx0.67; \approx-1.67)$. Это показывает, что графический метод позволяет получить верную оценку, в то время как алгебраический метод дает точный результат. Таким образом, ответы, полученные двумя способами, согласуются.