Номер 3, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 3, страница 28.

3 Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:

a) $\frac{a+2}{a^2-ab} + \frac{b-2}{b^2-ab};$

б) $\frac{8}{a^2-16} - \frac{4}{a^2-4a}.$

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо следовать алгоритму:

1. Разложить знаменатели на множители.
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого нужно взять все множители из первого знаменателя и добавить к ним недостающие множители из других знаменателей.
3. Найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого НОЗ делят на знаменатель дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
5. Выполнить сложение или вычитание числителей, а знаменатель оставить без изменений.
6. Если возможно, упростить полученную дробь.

Рассмотрим эти шаги на примерах.

а) $ \frac{a+2}{a^2-ab} + \frac{b-2}{b^2-ab} $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ a^2-ab = a(a-b) $

$ b^2-ab = b(b-a) = -b(a-b) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Знак "минус" из второго знаменателя вынесем перед дробью:

$ \frac{a+2}{a(a-b)} + \frac{b-2}{-b(a-b)} = \frac{a+2}{a(a-b)} - \frac{b-2}{b(a-b)} $

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ a(a-b) $ и $ b(a-b) $ будет $ ab(a-b) $.

3. Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(a-b)}{a(a-b)} = b $. Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(a-b)}{b(a-b)} = a $.

4. Умножим числители на их дополнительные множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(a+2)}{ab(a-b)} - \frac{a(b-2)}{ab(a-b)} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{b(a+2) - a(b-2)}{ab(a-b)} = \frac{ab+2b - ab+2a}{ab(a-b)} = \frac{2a+2b}{ab(a-b)} $

6. Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель в числителе за скобки:

$ \frac{2(a+b)}{ab(a-b)} $

Ответ: $ \frac{2(a+b)}{ab(a-b)} $

б) $ \frac{8}{a^2-16} - \frac{4}{a^2-4a} $

1. Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — это формула разности квадратов, а во втором можно вынести общий множитель:

$ a^2-16 = (a-4)(a+4) $

$ a^2-4a = a(a-4) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$ \frac{8}{(a-4)(a+4)} - \frac{4}{a(a-4)} $

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ (a-4)(a+4) $ и $ a(a-4) $ будет $ a(a-4)(a+4) $.

3. Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a(a-4)(a+4)}{(a-4)(a+4)} = a $. Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a(a-4)(a+4)}{a(a-4)} = a+4 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{8 \cdot a}{a(a-4)(a+4)} - \frac{4 \cdot (a+4)}{a(a-4)(a+4)} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{8a - 4(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a - 4a - 16}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4a-16}{a(a-4)(a+4)} $

6. Упростим полученную дробь. Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4}{a(a+4)} $

Ответ: $ \frac{4}{a(a+4)} $