Страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

1. Чтобы сложить две или более дробей с одинаковыми знаменателями, нужно выполнить следующие действия:

1. Сложить числители этих дробей.
2. Знаменатель оставить без изменений.
3. Записать результат в виде новой дроби, где в числителе будет сумма исходных числителей, а в знаменателе — их общий знаменатель.

В общем виде это правило можно записать с помощью математической формулы:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Рассмотрим на примере:

Сложим дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$.

Следуя правилу, складываем числители ($2$ и $5$), а знаменатель ($9$) оставляем прежним.

$\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}$

Если в результате сложения получается неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю), то из нее принято выделять целую часть. Если дробь можно сократить, то ее следует сократить.

Еще один пример:

Сложим дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{12}$.

$\frac{7}{12} + \frac{9}{12} = \frac{7+9}{12} = \frac{16}{12}$

Полученная дробь $\frac{16}{12}$ является сократимой (оба числа делятся на 4) и неправильной. Сначала сократим ее:

$\frac{16}{12} = \frac{16:4}{12:4} = \frac{4}{3}$

Теперь выделим целую часть из дроби $\frac{4}{3}$:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

3 Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:

a) $\frac{a+2}{a^2-ab} + \frac{b-2}{b^2-ab};$

б) $\frac{8}{a^2-16} - \frac{4}{a^2-4a}.$

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо следовать алгоритму:

1. Разложить знаменатели на множители.
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого нужно взять все множители из первого знаменателя и добавить к ним недостающие множители из других знаменателей.
3. Найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого НОЗ делят на знаменатель дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
5. Выполнить сложение или вычитание числителей, а знаменатель оставить без изменений.
6. Если возможно, упростить полученную дробь.

Рассмотрим эти шаги на примерах.

а) $ \frac{a+2}{a^2-ab} + \frac{b-2}{b^2-ab} $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ a^2-ab = a(a-b) $

$ b^2-ab = b(b-a) = -b(a-b) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Знак "минус" из второго знаменателя вынесем перед дробью:

$ \frac{a+2}{a(a-b)} + \frac{b-2}{-b(a-b)} = \frac{a+2}{a(a-b)} - \frac{b-2}{b(a-b)} $

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ a(a-b) $ и $ b(a-b) $ будет $ ab(a-b) $.

3. Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(a-b)}{a(a-b)} = b $. Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(a-b)}{b(a-b)} = a $.

4. Умножим числители на их дополнительные множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(a+2)}{ab(a-b)} - \frac{a(b-2)}{ab(a-b)} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{b(a+2) - a(b-2)}{ab(a-b)} = \frac{ab+2b - ab+2a}{ab(a-b)} = \frac{2a+2b}{ab(a-b)} $

6. Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель в числителе за скобки:

$ \frac{2(a+b)}{ab(a-b)} $

Ответ: $ \frac{2(a+b)}{ab(a-b)} $

б) $ \frac{8}{a^2-16} - \frac{4}{a^2-4a} $

1. Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — это формула разности квадратов, а во втором можно вынести общий множитель:

$ a^2-16 = (a-4)(a+4) $

$ a^2-4a = a(a-4) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$ \frac{8}{(a-4)(a+4)} - \frac{4}{a(a-4)} $

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ (a-4)(a+4) $ и $ a(a-4) $ будет $ a(a-4)(a+4) $.

3. Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a(a-4)(a+4)}{(a-4)(a+4)} = a $. Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a(a-4)(a+4)}{a(a-4)} = a+4 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{8 \cdot a}{a(a-4)(a+4)} - \frac{4 \cdot (a+4)}{a(a-4)(a+4)} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{8a - 4(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a - 4a - 16}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4a-16}{a(a-4)(a+4)} $

6. Упростим полученную дробь. Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4}{a(a+4)} $

Ответ: $ \frac{4}{a(a+4)} $

2 Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а их общий знаменатель оставить без изменений.

Это правило можно выразить общей формулой. Пусть даны две дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$. Их разность вычисляется следующим образом: $$ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $$

Пример.
Найдем разность дробей $\frac{9}{13}$ и $\frac{4}{13}$.

Действуем согласно правилу:
1. Знаменатели у дробей одинаковые – $13$. Оставляем его без изменений.
2. Вычитаем числители: $9 - 4 = 5$.
3. Записываем результат: числитель равен $5$, знаменатель равен $13$.

Таким образом, получаем: $$ \frac{9}{13} - \frac{4}{13} = \frac{9-4}{13} = \frac{5}{13} $$

Примечание: если в результате вычитания получается сократимая дробь, ее следует сократить. Если получается неправильная дробь, из нее нужно выделить целую часть.

Ответ: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.