Страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

66. Пользуясь тождеством $ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $, представьте дробь в виде суммы дробей:

а) $ \frac{a+b}{x} $;

б) $ \frac{2a^2+a}{y} $;

В) $ \frac{x^2+6y^2}{2xy} $;

Г) $ \frac{12a+y^2}{6ay} $.

а) Чтобы представить дробь $\frac{a+b}{x}$ в виде суммы дробей, мы используем тождество $\frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$. В данном случае числитель состоит из двух слагаемых, $a$ и $b$, а знаменатель равен $x$. Применим тождество, разделив каждое слагаемое числителя на знаменатель: $\frac{a+b}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}$. Ответ: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x}$

б) Для дроби $\frac{2a^2+a}{y}$ слагаемыми в числителе являются $2a^2$ и $a$, а знаменатель — $y$. Почленно разделим числитель на знаменатель, используя тождество: $\frac{2a^2+a}{y} = \frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$. Ответ: $\frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$

в) Представим дробь $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ в виде суммы двух дробей. Слагаемые числителя — $x^2$ и $6y^2$, знаменатель — $2xy$. $\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$. Теперь упростим каждую из полученных дробей. В первой дроби $\frac{x^2}{2xy}$ сократим общий множитель $x$: $\frac{x^2}{2xy} = \frac{x \cdot x}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{x}{2y}$. Во второй дроби $\frac{6y^2}{2xy}$ сократим общие множители $2$ и $y$: $\frac{6y^2}{2xy} = \frac{2 \cdot 3 \cdot y \cdot y}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{3y}{x}$. Таким образом, исходная дробь равна сумме упрощенных дробей: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$. Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$

г) Представим дробь $\frac{12a+y^2}{6ay}$ в виде суммы дробей. Слагаемые числителя — $12a$ и $y^2$, знаменатель — $6ay$. $\frac{12a+y^2}{6ay} = \frac{12a}{6ay} + \frac{y^2}{6ay}$. Теперь упростим каждую из дробей. В первой дроби $\frac{12a}{6ay}$ сократим общие множители $6$ и $a$: $\frac{12a}{6ay} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a}{6 \cdot a \cdot y} = \frac{2}{y}$. Во второй дроби $\frac{y^2}{6ay}$ сократим общий множитель $y$: $\frac{y^2}{6ay} = \frac{y \cdot y}{6 \cdot a \cdot y} = \frac{y}{6a}$. В результате получаем сумму: $\frac{2}{y} + \frac{y}{6a}$. Ответ: $\frac{2}{y} + \frac{y}{6a}$

68. Представьте дробь $\frac{5n^2 + 3n + 6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Представьте дробь $\frac{5n^2+3n+6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Чтобы представить данную дробь в виде суммы, выполним почленное деление числителя на знаменатель. Это равносильно выделению целой части из неправильной алгебраической дроби.

$\frac{5n^2+3n+6}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{6}{n}$

После сокращения каждого слагаемого получаем:

$5n + 3 + \frac{6}{n}$

В полученном выражении $(5n + 3)$ является двучленом (многочленом, состоящим из двух членов), а $\frac{6}{n}$ — дробью. Таким образом, мы представили исходную дробь в требуемом виде.

Ответ: $5n+3+\frac{6}{n}$.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Воспользуемся представлением дроби, полученным в предыдущем пункте: $5n+3+\frac{6}{n}$.

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Рассмотрим выражение $5n+3+\frac{6}{n}$. Для любого натурального $n$ произведение $5n$ также является натуральным числом. Сумма натурального числа $5n$ и натурального числа $3$ всегда будет натуральным числом. Таким образом, двучлен $(5n+3)$ принимает натуральные значения при любом натуральном $n$.

Чтобы вся сумма $5n+3+\frac{6}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы и оставшееся слагаемое, дробь $\frac{6}{n}$, также принимало натуральное значение.

Дробь $\frac{6}{n}$ будет являться натуральным числом только в том случае, если ее знаменатель $n$ является натуральным делителем числителя 6.

Найдём все натуральные делители числа 6. Это числа: 1, 2, 3, 6.

Следовательно, исходная дробь принимает натуральные значения только при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.

70. Решите уравнение:

а) $3(5x - 4) - 8x = 4x + 9;$

б) $19x - 8(x - 3) = 66 - 3x;$

в) $0.2(0.7x - 5) + 0.02 = 1.4(x - 1.6);$

г) $2.7(0.1x + 3.2) + 0.6(1.3 - x) = 16.02.$

а) $3(5x - 4) - 8x = 4x + 9$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3 \cdot 5x - 3 \cdot 4 - 8x = 4x + 9$
$15x - 12 - 8x = 4x + 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(15x - 8x) - 12 = 4x + 9$
$7x - 12 = 4x + 9$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки на противоположные:
$7x - 4x = 9 + 12$
$3x = 21$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$
Ответ: $7$

б) $19x - 8(x - 3) = 66 - 3x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$19x - 8 \cdot x - 8 \cdot (-3) = 66 - 3x$
$19x - 8x + 24 = 66 - 3x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$11x + 24 = 66 - 3x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$11x + 3x = 66 - 24$
$14x = 42$
Разделим обе части уравнения на 14:
$x = \frac{42}{14}$
$x = 3$
Ответ: $3$

в) $0,2(0,7x - 5) + 0,02 = 1,4(x - 1,6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0,2 \cdot 0,7x - 0,2 \cdot 5 + 0,02 = 1,4 \cdot x - 1,4 \cdot 1,6$
$0,14x - 1 + 0,02 = 1,4x - 2,24$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$0,14x - 0,98 = 1,4x - 2,24$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$2,24 - 0,98 = 1,4x - 0,14x$
$1,26 = 1,26x$
Разделим обе части уравнения на 1,26:
$x = \frac{1,26}{1,26}$
$x = 1$
Ответ: $1$

г) $2,7(0,1x + 3,2) + 0,6(1,3 - x) = 16,02$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2,7 \cdot 0,1x + 2,7 \cdot 3,2 + 0,6 \cdot 1,3 - 0,6 \cdot x = 16,02$
$0,27x + 8,64 + 0,78 - 0,6x = 16,02$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:
$(0,27x - 0,6x) + (8,64 + 0,78) = 16,02$
$-0,33x + 9,42 = 16,02$
Перенесем числовое слагаемое в правую часть:
$-0,33x = 16,02 - 9,42$
$-0,33x = 6,6$
Разделим обе части уравнения на -0,33:
$x = \frac{6,6}{-0,33}$
$x = -\frac{660}{33}$
$x = -20$
Ответ: $-20$

72. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\frac{3a}{2a+25}$;

б) $\frac{2y}{9+y^2}$;

в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$;

г) $\frac{7a}{(a+1)(a-4)}$.

Допустимые значения переменной в выражении (или область определения выражения) — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для алгебраических дробей выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{3a}{2a + 25}$.

Знаменатель этой дроби не должен быть равен нулю. Найдем значение переменной a, при котором знаменатель обращается в ноль:

$2a + 25 = 0$

$2a = -25$

$a = -\frac{25}{2} = -12.5$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -12.5.

Ответ: все числа, кроме $a = -12.5$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{2y}{9 + y^2}$.

Найдем значения переменной y, при которых знаменатель $9 + y^2$ равен нулю.

$9 + y^2 = 0$

$y^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $9 + y^2$ всегда будет положительной ($9 + y^2 \ge 9$). Знаменатель никогда не может быть равен нулю.

Таким образом, выражение определено для любых значений переменной y.

Ответ: все числа.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{5x}{3x(x + 12)}$.

Знаменатель $3x(x + 12)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$3x(x + 12) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $3x = 0 \implies x = 0$

2) $x + 12 = 0 \implies x = -12$

Следовательно, переменная x может принимать любые значения, кроме 0 и -12.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -12$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{7a}{(a + 1)(a - 4)}$.

Знаменатель $(a + 1)(a - 4)$ не должен быть равен нулю.

$(a + 1)(a - 4) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1) $a + 1 = 0 \implies a = -1$

2) $a - 4 = 0 \implies a = 4$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -1 и 4.

Ответ: все числа, кроме $a = -1$ и $a = 4$.

67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:

а) $\frac{x^2 + y^2}{x^4}$;

б) $\frac{2x - y}{b}$;

в) $\frac{a^2 + 1}{2a}$;

г) $\frac{a^2 - 3ab}{a^3}$.

а) Чтобы представить дробь в виде суммы, необходимо каждый член числителя разделить на общий знаменатель. Этот прием основан на свойстве дробей: $\frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$.

Для дроби $\frac{x^2+y^2}{x^4}$ получаем:

$\frac{x^2+y^2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} + \frac{y^2}{x^4}$

Далее упростим первое слагаемое, сократив дробь на $x^2$ (используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Второе слагаемое $\frac{y^2}{x^4}$ не сокращается. Таким образом, итоговое выражение:

Ответ: $\frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4}$

б) Чтобы представить дробь в виде разности, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $b$.

$\frac{2x-y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b}$

Полученные дроби $\frac{2x}{b}$ и $\frac{y}{b}$ дальнейшему упрощению не подлежат.

Ответ: $\frac{2x}{b} - \frac{y}{b}$

в) Чтобы представить дробь в виде суммы, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $2a$.

$\frac{a^2+1}{2a} = \frac{a^2}{2a} + \frac{1}{2a}$

Упростим первое слагаемое, сократив его на $a$:

$\frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$

Второе слагаемое $\frac{1}{2a}$ не упрощается. В результате получаем следующую сумму:

Ответ: $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a}$

г) Чтобы представить дробь в виде разности, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $a^3$.

$\frac{a^2-3ab}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} - \frac{3ab}{a^3}$

Теперь упростим (сократим) каждую из полученных дробей. Первую дробь сокращаем на $a^2$:

$\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

Вторую дробь сокращаем на $a$:

$\frac{3ab}{a^3} = \frac{3b}{a^2}$

В результате получаем разность:

Ответ: $\frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2}$

69. При каких целых значениях m дробь $\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}$ принимает целые значения?

Для того чтобы данная дробь принимала целые значения, необходимо найти все целые значения $m$, при которых числитель делится на знаменатель нацело. Из вида дроби следует, что ее знаменатель не может быть равен нулю, то есть $m \neq 0$.

Рассмотрим данное выражение:

$\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}$

Сначала упростим числитель. Выражение $(m-1)(m+1)$ является разностью квадратов, которая раскрывается по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(m-1)(m+1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель дроби:

$(m^2 - 1) - 10 = m^2 - 11$

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

$\frac{m^2 - 11}{m}$

Чтобы проанализировать, при каких целых $m$ эта дробь будет целой, разделим ее на два слагаемых (выделим целую часть):

$\frac{m^2 - 11}{m} = \frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m}$

По условию, $m$ — целое число. Для того чтобы вся разность $m - \frac{11}{m}$ была целым числом, необходимо, чтобы и вычитаемое $\frac{11}{m}$ также было целым числом (поскольку разность двух целых чисел всегда является целым числом).

Дробь $\frac{11}{m}$ будет принимать целые значения только в том случае, если ее знаменатель $m$ является делителем числителя 11.

Число 11 является простым, поэтому его целыми делителями являются только числа $1, -1, 11, -11$.

Следовательно, $m$ может принимать одно из следующих значений:

• $-11$
• $-1$
• $1$
• $11$

Все эти значения удовлетворяют начальному условию $m \neq 0$.

Ответ: $-11, -1, 1, 11$.

71. Разложите на множители:

а) $8x^4 - 16x^3y;$

б) $15xy^5 + 10y^2;$

в) $8a^2 - 50y^2;$

г) $18b^2 - 98a^2;$

д) $x^3 - 125;$

е) $y^3 + 8;$

ж) $ab + 8a + 9b + 72;$

з) $6m - 12 - 2n + mn.$

а) $8x^4 - 16x^3y$

Чтобы разложить выражение на множители, найдем наибольший общий делитель для каждого члена выражения. Для $8x^4$ и $16x^3y$ общим множителем является $8x^3$. Вынесем его за скобки:

$8x^4 - 16x^3y = 8x^3 \cdot x - 8x^3 \cdot 2y = 8x^3(x - 2y)$

Ответ: $8x^3(x - 2y)$

б) $15xy^5 + 10y^2$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для $15xy^5$ и $10y^2$ общим множителем является $5y^2$:

$15xy^5 + 10y^2 = 5y^2 \cdot 3xy^3 + 5y^2 \cdot 2 = 5y^2(3xy^3 + 2)$

Ответ: $5y^2(3xy^3 + 2)$

в) $8a^2 - 50y^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 2. Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$8a^2 - 50y^2 = 2(4a^2 - 25y^2) = 2((2a)^2 - (5y)^2) = 2(2a - 5y)(2a + 5y)$

Ответ: $2(2a - 5y)(2a + 5y)$

г) $18b^2 - 98a^2$

Вынесем за скобки общий множитель 2. Полученное в скобках выражение является разностью квадратов, которую мы разложим по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$18b^2 - 98a^2 = 2(9b^2 - 49a^2) = 2((3b)^2 - (7a)^2) = 2(3b - 7a)(3b + 7a)$

Ответ: $2(3b - 7a)(3b + 7a)$

д) $x^3 - 125$

Данное выражение является разностью кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$. В нашем случае $A=x$ и $B=5$.

$x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

Ответ: $(x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

е) $y^3 + 8$

Данное выражение является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$. В нашем случае $A=y$ и $B=2$.

$y^3 + 8 = y^3 + 2^3 = (y + 2)(y^2 - y \cdot 2 + 2^2) = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$

Ответ: $(y + 2)(y^2 - 2y + 4)$

ж) $ab + 8a + 9b + 72$

Разложим многочлен на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым. Затем вынесем общие множители из каждой группы.

$ab + 8a + 9b + 72 = (ab + 8a) + (9b + 72) = a(b + 8) + 9(b + 8)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b+8)$:

$(a + 9)(b + 8)$

Ответ: $(a + 9)(b + 8)$

з) $6m - 12 - 2n + mn$

Используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Вынесем общие множители из каждой группы.

$6m - 12 - 2n + mn = (6m - 12) + (mn - 2n) = 6(m - 2) + n(m - 2)$

Вынесем общий множитель $(m-2)$ за скобки:

$(m - 2)(6 + n)$

Ответ: $(m - 2)(n + 6)$