Номер 67, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 67, страница 21.

67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:

а) $\frac{x^2 + y^2}{x^4}$;

б) $\frac{2x - y}{b}$;

в) $\frac{a^2 + 1}{2a}$;

г) $\frac{a^2 - 3ab}{a^3}$.

а) Чтобы представить дробь в виде суммы, необходимо каждый член числителя разделить на общий знаменатель. Этот прием основан на свойстве дробей: $\frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$.

Для дроби $\frac{x^2+y^2}{x^4}$ получаем:

$\frac{x^2+y^2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} + \frac{y^2}{x^4}$

Далее упростим первое слагаемое, сократив дробь на $x^2$ (используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Второе слагаемое $\frac{y^2}{x^4}$ не сокращается. Таким образом, итоговое выражение:

Ответ: $\frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4}$

б) Чтобы представить дробь в виде разности, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $b$.

$\frac{2x-y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b}$

Полученные дроби $\frac{2x}{b}$ и $\frac{y}{b}$ дальнейшему упрощению не подлежат.

Ответ: $\frac{2x}{b} - \frac{y}{b}$

в) Чтобы представить дробь в виде суммы, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $2a$.

$\frac{a^2+1}{2a} = \frac{a^2}{2a} + \frac{1}{2a}$

Упростим первое слагаемое, сократив его на $a$:

$\frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$

Второе слагаемое $\frac{1}{2a}$ не упрощается. В результате получаем следующую сумму:

Ответ: $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a}$

г) Чтобы представить дробь в виде разности, разделим каждый член числителя на общий знаменатель $a^3$.

$\frac{a^2-3ab}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} - \frac{3ab}{a^3}$

Теперь упростим (сократим) каждую из полученных дробей. Первую дробь сокращаем на $a^2$:

$\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

Вторую дробь сокращаем на $a$:

$\frac{3ab}{a^3} = \frac{3b}{a^2}$

В результате получаем разность:

Ответ: $\frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2}$