Номер 61, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 61, страница 20.

61. Упростите выражение:

а) $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$;

б) $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$;

в) $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$;

г) $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$;

д) $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$;

е) $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $y-1$ и $1-y$ являются противоположными выражениями, так как $1-y = -(y-1)$.

Изменим знак у второй дроби, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{5}{1-y} = \frac{5}{-(y-1)} = -\frac{5}{y-1}$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1}$

Так как знаменатели дробей теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-5}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-5}{y-1}$

б) В выражении $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$ знаменатели $c-3$ и $3-c$ также являются противоположными: $3-c = -(c-3)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6}{3-c} = \frac{6}{-(c-3)} = -\frac{6}{c-3}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a}{c-3} - (-\frac{6}{c-3}) = \frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3}$

Сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{a+6}{c-3}$

Ответ: $\frac{a+6}{c-3}$

в) В выражении $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$ знаменатели $m-n$ и $n-m$ противоположны: $n-m = -(m-n)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{2n}{n-m} = \frac{2n}{-(m-n)} = -\frac{2n}{m-n}$

Запишем исходное выражение с новым видом второй дроби:

$\frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} = \frac{2m-2n}{m-n}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(m-n)}{m-n}$

Сократим дробь на $(m-n)$:

$2$

Ответ: $2$

г) В выражении $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$ знаменатели $2q-p$ и $p-2q$ являются противоположными: $p-2q = -(2q-p)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{10q}{p-2q} = \frac{10q}{-(2q-p)} = -\frac{10q}{2q-p}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p} = \frac{5p-10q}{2q-p}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:

$\frac{5(p-2q)}{2q-p}$

Заметим, что $p-2q = -(2q-p)$. Заменим выражение в числителе:

$\frac{5(-(2q-p))}{2q-p} = \frac{-5(2q-p)}{2q-p}$

Сократим дробь на $(2q-p)$:

$-5$

Ответ: $-5$

д) В выражении $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$ знаменатели $a-4$ и $4-a$ противоположны: $4-a = -(a-4)$.

Изменим знак у второй дроби:

$\frac{8a}{4-a} = \frac{8a}{-(a-4)} = -\frac{8a}{a-4}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4} = \frac{a^2+16-8a}{a-4}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:

$\frac{a^2-8a+16}{a-4}$

Числитель является полным квадратом разности: $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.

$\frac{(a-4)^2}{a-4}$

Сократим дробь на $(a-4)$:

$a-4$

Ответ: $a-4$

е) В выражении $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$ знаменатели $x-3y$ и $3y-x$ являются противоположными: $3y-x = -(x-3y)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6xy}{3y-x} = \frac{6xy}{-(x-3y)} = -\frac{6xy}{x-3y}$

Подставим и выполним вычитание дробей с общим знаменателем:

$\frac{x^2+9y^2}{x-3y} - \frac{6xy}{x-3y} = \frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y}$

Запишем числитель в стандартном виде:

$\frac{x^2-6xy+9y^2}{x-3y}$

Числитель является полным квадратом разности: $x^2-6xy+9y^2 = (x-3y)^2$.

$\frac{(x-3y)^2}{x-3y}$

Сократим дробь на $(x-3y)$:

$x-3y$

Ответ: $x-3y$