Номер 55, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 55, страница 19.

55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:

а) $\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy}$;

б) $\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b}$;

в) $\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a}$;

г) $\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy} = \frac{(2x - 3y) + (11y - 2x)}{4xy}$
Теперь упростим выражение в числителе, сгруппировав и приведя подобные слагаемые:
$2x - 3y + 11y - 2x = (2x - 2x) + (11y - 3y) = 0 + 8y = 8y$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{8y}{4xy}$
Сократим полученную дробь на общий множитель $4y$:
$\frac{8y}{4xy} = \frac{2}{x}$
Ответ: $\frac{2}{x}$

б) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же. Обратите внимание, что знак "минус" перед второй дробью применяется ко всему ее числителю.
$\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b} = \frac{(5a + b^5) - (5a - 7b^5)}{8b}$
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки у членов второго выражения на противоположные:
$5a + b^5 - 5a + 7b^5 = (5a - 5a) + (b^5 + 7b^5) = 8b^5$
Подставим результат в дробь:
$\frac{8b^5}{8b}$
Сократим дробь на общий множитель $8b$:
$\frac{8b^5}{8b} = b^{5-1} = b^4$
Ответ: $b^4$

в) В данном выражении все три дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполним сложение и вычитание их числителей.
$\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a} = \frac{(a - 2) + (2a + 5) - (3 - a)}{8a}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$a - 2 + 2a + 5 - 3 + a = (a + 2a + a) + (-2 + 5 - 3) = 4a + 0 = 4a$
Получим дробь:
$\frac{4a}{8a}$
Сократим дробь на $4a$:
$\frac{4a}{8a} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Все дроби в выражении имеют общий знаменатель $4a$. Объединим числители, выполняя соответствующие операции.
$\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a} = \frac{(11a - 2b) + (2a - 3b) - (a - b)}{4a}$
Упростим числитель, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:
$11a - 2b + 2a - 3b - a + b = (11a + 2a - a) + (-2b - 3b + b) = 12a - 4b$
Запишем новую дробь:
$\frac{12a - 4b}{4a}$
Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки и сократим дробь:
$\frac{4(3a - b)}{4a} = \frac{3a - b}{a}$
Ответ: $\frac{3a - b}{a}$