Номер 3, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 3, страница 17.

3. Дайте определение тождества. Приведите пример.

Тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Иными словами, какое бы допустимое значение ни принимала переменная, левая и правая части равенства будут равны. Областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называется множество всех её значений, при которых выражения в обеих частях равенства имеют смысл. Например, для равенства $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ значение $x=1$ является недопустимым, так как знаменатель обращается в ноль, но для всех остальных значений $x$ это равенство будет тождеством.

Примером тождества является одна из формул сокращенного умножения — квадрат суммы: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Это равенство справедливо для любых значений переменных $a$ и $b$.

Чтобы доказать, что это тождество, нужно преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой. Преобразуем левую часть, используя определение степени и распределительный закон умножения: $$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b $$ Применяя переместительный закон умножения ($ab = ba$) и приводя подобные слагаемые, получаем: $$ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Поскольку левая часть после преобразований стала равна правой ($a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$), мы доказали, что исходное равенство является тождеством.

Другие примеры тождеств:
- Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
- Распределительный закон: $c(a+b) = ca + cb$

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Пример тождества: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.