Номер 4, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 4, страница 17.

4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.

Формулировка

Основное свойство дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

В виде формулы это записывается так: для любой дроби $\frac{a}{b}$ (где $b \neq 0$) и любого числа $c \neq 0$ справедливо равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Аналогично, если числитель $a$ и знаменатель $b$ имеют общий делитель $d$, то:

$\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}$

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Доказательство

Докажем равенство $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ при условии, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

1. По определению обыкновенной дроби, запись $\frac{a}{b}$ представляет собой результат деления числа $a$ на число $b$. Обозначим это частное как $x$. Таким образом, $\frac{a}{b} = x$. Из определения деления следует, что $a = b \cdot x$.

2. Теперь рассмотрим дробь $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$. Она представляет собой частное от деления $(a \cdot c)$ на $(b \cdot c)$. Обозначим это частное как $y$. То есть, $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = y$, что эквивалентно равенству $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$.

3. Наша задача — доказать, что $x=y$, что будет означать равенство исходных дробей.

4. В равенство из пункта 2, $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$, подставим выражение для $a$ из пункта 1 ($a = b \cdot x$). Получим:

$(b \cdot x) \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$

5. На основании сочетательного и переместительного законов умножения, мы можем изменить порядок множителей в левой части уравнения:

$(b \cdot x) \cdot c = b \cdot (x \cdot c) = b \cdot (c \cdot x) = (b \cdot c) \cdot x$

6. Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$(b \cdot c) \cdot x = (b \cdot c) \cdot y$

7. Поскольку по условию $b \neq 0$ и $c \neq 0$, их произведение $b \cdot c$ также не равно нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(b \cdot c)$:

$x = y$

8. Так как мы установили, что $x = \frac{a}{b}$ и $y = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$, то из равенства $x=y$ следует, что $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$.

Доказательство свойства для деления является обратной операцией. Если мы начинаем с дроби $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и делим ее числитель и знаменатель на $c$, мы получаем дробь $\frac{(a \cdot c) \div c}{(b \cdot c) \div c} = \frac{a}{b}$, которая, как мы только что доказали, равна исходной.

Ответ: Доказательство основано на определении дроби как частного от деления. Обозначив $\frac{a}{b}$ как $x$ (то есть $a=b \cdot x$) и $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ как $y$ (то есть $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$), мы подставляем первое выражение во второе и получаем $(b \cdot x) \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$. Используя свойства умножения, приходим к равенству $(b \cdot c) \cdot x = (b \cdot c) \cdot y$. Так как $b \cdot c \neq 0$, мы можем разделить обе части на это произведение, получая $x=y$, что и доказывает равенство $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$.