Номер 58, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 58, страница 20.

58. Докажите, что:

а) выражение $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$ тождественно равно 4;

б) выражение $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ тождественно равно 2.

а)

Чтобы доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} $ тождественно равно 4, выполним преобразования.
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $ab$, объединим их:
$ \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} $
Воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
Подставим эти выражения в числитель:
$ \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab} $
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$ \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab} $
Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):
$ \frac{4ab}{ab} = 4 $
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} = 4 $, тождество доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} $ тождественно равно 2, выполним преобразования.
У дробей одинаковый знаменатель $a^2 + b^2$, поэтому сложим их числители:
$ \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2} $
Используем те же формулы сокращенного умножения и подставим их в числитель:
$ \frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + b^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} $
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} $
Сократим дробь на $(a^2 + b^2)$ (при условии, что $a^2 + b^2 \neq 0$, то есть $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):
$ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2 $
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = 2 $, тождество доказано.