Страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

58. Докажите, что:

а) выражение $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$ тождественно равно 4;

б) выражение $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ тождественно равно 2.

а)

Чтобы доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} $ тождественно равно 4, выполним преобразования.
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $ab$, объединим их:
$ \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} $
Воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
Подставим эти выражения в числитель:
$ \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab} $
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$ \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab} $
Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):
$ \frac{4ab}{ab} = 4 $
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} = 4 $, тождество доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} $ тождественно равно 2, выполним преобразования.
У дробей одинаковый знаменатель $a^2 + b^2$, поэтому сложим их числители:
$ \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2} $
Используем те же формулы сокращенного умножения и подставим их в числитель:
$ \frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + b^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} $
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} $
Сократим дробь на $(a^2 + b^2)$ (при условии, что $a^2 + b^2 \neq 0$, то есть $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):
$ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2 $
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = 2 $, тождество доказано.

60. Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab}$ при $a = -0,8, b = -1,75.$

Нет ли в задаче лишних данных?

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Поскольку у обеих дробей одинаковый знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$ \frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab} = \frac{(a^2 - 12b) - (3ab - 4a)}{a^2 - 3ab} $

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$ \frac{a^2 - 12b - 3ab + 4a}{a^2 - 3ab} $

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе сгруппируем слагаемые: $ (a^2 + 4a) + (-3ab - 12b) $. Вынесем общие множители из каждой группы: $ a(a + 4) - 3b(a + 4) $. Теперь вынесем общий множитель $ (a + 4) $: $ (a + 4)(a - 3b) $.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$: $ a(a - 3b) $.

Подставим полученные разложения обратно в дробь:

$ \frac{(a + 4)(a - 3b)}{a(a - 3b)} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $ a^2 - 3ab \neq 0 $, что означает $ a \neq 0 $ и $ a - 3b \neq 0 $.
При $ a = -0,8 $ и $ b = -1,75 $ эти условия выполняются, так как $ a \neq 0 $ и $ a - 3b = -0,8 - 3(-1,75) = -0,8 + 5,25 = 4,45 \neq 0 $.
Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (a - 3b) $:

$ \frac{a + 4}{a} $

Теперь подставим значение $ a = -0,8 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{-0,8 + 4}{-0,8} = \frac{3,2}{-0,8} = -4 $

При упрощении мы получили выражение $ \frac{a+4}{a} $, которое не зависит от переменной $b$. Это означает, что для нахождения значения выражения нам не нужно было знать значение $b$. Таким образом, данные о значении $b$ являются лишними.

Ответ: значение выражения равно -4; да, в задаче есть лишние данные (значение $b = -1,75$).

62. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p}$;

Б) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$;

В) $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$;

Г) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$;

Д) $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$;

е) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

а) $\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p}$

Чтобы выполнить сложение дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $p-q$ и $q-p$ являются противоположными выражениями, так как $q-p = -(p-q)$.

Преобразуем вторую дробь, изменив знак перед дробью и знак знаменателя:

$\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{-(p-q)} = \frac{10p}{p-q} - \frac{3p}{p-q}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, выполним вычитание их числителей:

$\frac{10p - 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}$

Ответ: $\frac{7p}{p-q}$

б) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$

Аналогично предыдущему примеру, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $b-a = -(a-b)$.

$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5a-5b}{a-b}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе за скобки:

$\frac{5(a-b)}{a-b}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$5$

Ответ: $5$

в) $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$

Знаменатель второй дроби $1-x$ равен $-(x-1)$. Изменим знак перед дробью на противоположный, поменяв знаки в знаменателе:

$\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{-(x-1)} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}$

Сложим числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(x-3) + 2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1}$

Сократим полученную дробь:

$1$

Ответ: $1$

г) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $b-2a = -(2a-b)$.

$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе:

$\frac{a-(3a-b)}{2a-b} = \frac{a-3a+b}{2a-b} = \frac{b-2a}{2a-b}$

Вынесем $-1$ в числителе за скобки, чтобы получить выражение, идентичное знаменателю:

$\frac{-(2a-b)}{2a-b}$

Сократим дробь:

$-1$

Ответ: $-1$

д) $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$

Знаменатель второй дроби $9-a^2$ равен $-(a^2-9)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{a^2-9}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a-3}{a^2-9}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$:

$\frac{1}{a+3}$

Ответ: $\frac{1}{a+3}$

е) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $1-y$ равен $-(y-1)$.

$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{y^2-1}{y-1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-1)$:

$y+1$

Ответ: $y+1$

64. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2}$

б) $\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3}$

а)

Исходное выражение: $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2}$.

Для того чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что выражение в знаменателе второй дроби $(5-x)^2$ можно преобразовать, используя свойство квадрата числа: $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Это верно, так как $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (-1)^2 \cdot (x-5)^2 = (x-5)^2$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение, заменив знаменатель второй дроби:

$\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем выполнить вычитание числителей:

$\frac{x^2-25}{(x-5)^2}$

Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2-25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}$

Сократим общий множитель $(x-5)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$):

$\frac{x+5}{x-5}$

Ответ: $\frac{x+5}{x-5}$

б)

Исходное выражение: $\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби. Используем свойство нечетной степени: $(a-b)^3 = -(b-a)^3$. Это верно, так как $(5-x)^3 = (-(x-5))^3 = (-1)^3 \cdot (x-5)^3 = -(x-5)^3$.

Подставим это преобразование в исходное выражение:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{-(x-5)^3}$

Знак "плюс" перед второй дробью меняется на "минус":

$\frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$\frac{x^2+25-10x}{(x-5)^3}$

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы увидеть знакомую формулу:

$\frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3}$

Выражение в числителе $x^2-10x+25$ является полным квадратом разности. Применим формулу $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$

Подставим полученный квадрат разности в числитель дроби:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)^2$ (при условии, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$):

$\frac{1}{x-5}$

Ответ: $\frac{1}{x-5}$

57. Упростите выражение:

a) $\frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4};$

Б) $\frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5};$

В) $\frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2};$

Г) $\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64};$

Д) $\frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2};$

Е) $\frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2}.$

а) Дано выражение $\frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей, записав результат над общим знаменателем:
$\frac{16-x^2}{x-4}$
Числитель $16-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$16-x^2 = 4^2 - x^2 = (4-x)(4+x)$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}$
Заметим, что $(4-x) = -(x-4)$. Вынесем знак минус за скобки в числителе:
$\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}$
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x-4)$ (при условии $x \ne 4$):
$-(x+4) = -x-4$
Ответ: $-x-4$.

б) Дано выражение $\frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5}$.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{25-a^2}{a+5}$
Применим формулу разности квадратов к числителю $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5-a)(5+a)$:
$\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}$
Так как $5+a = a+5$, сокращаем дробь на общий множитель $(a+5)$ (при условии $a \ne -5$):
$5-a$
Ответ: $5-a$.

в) Дано выражение $\frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2}$.
Дроби имеют общий знаменатель, поэтому вычитаем их числители:
$\frac{(3a-1) - (3b-1)}{a^2-b^2}$
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$\frac{3a-1-3b+1}{a^2-b^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе: $-1$ и $+1$ взаимно уничтожаются.
$\frac{3a-3b}{a^2-b^2}$
Вынесем общий множитель 3 в числителе: $\frac{3(a-b)}{a^2-b^2}$.
Знаменатель $a^2-b^2$ разложим на множители как разность квадратов: $(a-b)(a+b)$.
$\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
Сокращаем дробь на $(a-b)$ (при условии $a \ne b$):
$\frac{3}{a+b}$
Ответ: $\frac{3}{a+b}$.

г) Дано выражение $\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:
$\frac{(x-3)+11}{x^2-64} = \frac{x+8}{x^2-64}$
Знаменатель $x^2-64$ является разностью квадратов: $x^2-8^2=(x-8)(x+8)$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+8)$ (при условии $x \ne -8$):
$\frac{1}{x-8}$
Ответ: $\frac{1}{x-8}$.

д) Дано выражение $\frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2}$.
Знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(2a+b) - (2b-5a)}{(a-b)^2}$
Раскроем скобки в числителе. Знак минус перед дробью меняет знаки в вычитаемом числителе:
$\frac{2a+b-2b+5a}{(a-b)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(2a+5a) + (b-2b)}{(a-b)^2} = \frac{7a-b}{(a-b)^2}$
В данном выражении числитель и знаменатель не имеют общих множителей, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{7a-b}{(a-b)^2}$.

е) Дано выражение $\frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2}$.
Так как знаменатели дробей равны, вычитаем числители:
$\frac{(13x+6y) - (11x+4y)}{(x+y)^2}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{13x+6y-11x-4y}{(x+y)^2}$
Приводим подобные слагаемые:
$\frac{(13x-11x) + (6y-4y)}{(x+y)^2} = \frac{2x+2y}{(x+y)^2}$
Вынесем общий множитель 2 в числителе:
$\frac{2(x+y)}{(x+y)^2}$
Сокращаем дробь на $(x+y)$ (при условии $x+y \ne 0$):
$\frac{2}{x+y}$
Ответ: $\frac{2}{x+y}$.

59. Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{a - 6}$ при $a = 10,25;$

б) $\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9}$ при $b = 3,5.$

а) Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a - 6$, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{a - 6} = \frac{(a^2 - 43) - 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 43 - 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 50}{a - 6}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 10,25$. Для удобства вычислений представим $10,25$ в виде обыкновенной дроби: $10,25 = 10\frac{25}{100} = 10\frac{1}{4} = \frac{41}{4}$.

Подставляем это значение в выражение:

$\frac{(\frac{41}{4})^2 - 50}{\frac{41}{4} - 6}$

Сначала вычислим значение числителя:

$(\frac{41}{4})^2 - 50 = \frac{1681}{16} - 50 = \frac{1681}{16} - \frac{50 \cdot 16}{16} = \frac{1681 - 800}{16} = \frac{881}{16}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$\frac{41}{4} - 6 = \frac{41}{4} - \frac{6 \cdot 4}{4} = \frac{41 - 24}{4} = \frac{17}{4}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{881}{16}}{\frac{17}{4}} = \frac{881}{16} \cdot \frac{4}{17} = \frac{881 \cdot 4}{16 \cdot 17} = \frac{881}{4 \cdot 17} = \frac{881}{68}$

Можно выделить целую часть из неправильной дроби:

$881 \div 68 = 12$ (остаток $65$), так как $12 \cdot 68 = 816$ и $881 - 816 = 65$.

Следовательно, результат равен $12\frac{65}{68}$.

Ответ: $12\frac{65}{68}$

б) Упростим данное выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, $b^2 - 9$, выполним вычитание числителей:

$\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} = \frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$\frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{(9b - 6b) + (-1 + 10)}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}$

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $3$ за скобки. Знаменатель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{3(b + 3)}{b^2 - 3^2} = \frac{3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b + 3)$, при условии, что $b+3 \neq 0$ (что верно для $b=3,5$):

$\frac{3}{b - 3}$

Подставим значение $b = 3,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{3}{3,5 - 3} = \frac{3}{0,5}$

Для вычисления разделим $3$ на $0,5$ (что то же самое, что умножить на 2):

$\frac{3}{0,5} = 6$

Ответ: $6$

61. Упростите выражение:

а) $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$;

б) $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$;

в) $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$;

г) $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$;

д) $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$;

е) $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $y-1$ и $1-y$ являются противоположными выражениями, так как $1-y = -(y-1)$.

Изменим знак у второй дроби, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{5}{1-y} = \frac{5}{-(y-1)} = -\frac{5}{y-1}$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1}$

Так как знаменатели дробей теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-5}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-5}{y-1}$

б) В выражении $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$ знаменатели $c-3$ и $3-c$ также являются противоположными: $3-c = -(c-3)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6}{3-c} = \frac{6}{-(c-3)} = -\frac{6}{c-3}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a}{c-3} - (-\frac{6}{c-3}) = \frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3}$

Сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{a+6}{c-3}$

Ответ: $\frac{a+6}{c-3}$

в) В выражении $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$ знаменатели $m-n$ и $n-m$ противоположны: $n-m = -(m-n)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{2n}{n-m} = \frac{2n}{-(m-n)} = -\frac{2n}{m-n}$

Запишем исходное выражение с новым видом второй дроби:

$\frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} = \frac{2m-2n}{m-n}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(m-n)}{m-n}$

Сократим дробь на $(m-n)$:

$2$

Ответ: $2$

г) В выражении $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$ знаменатели $2q-p$ и $p-2q$ являются противоположными: $p-2q = -(2q-p)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{10q}{p-2q} = \frac{10q}{-(2q-p)} = -\frac{10q}{2q-p}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p} = \frac{5p-10q}{2q-p}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:

$\frac{5(p-2q)}{2q-p}$

Заметим, что $p-2q = -(2q-p)$. Заменим выражение в числителе:

$\frac{5(-(2q-p))}{2q-p} = \frac{-5(2q-p)}{2q-p}$

Сократим дробь на $(2q-p)$:

$-5$

Ответ: $-5$

д) В выражении $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$ знаменатели $a-4$ и $4-a$ противоположны: $4-a = -(a-4)$.

Изменим знак у второй дроби:

$\frac{8a}{4-a} = \frac{8a}{-(a-4)} = -\frac{8a}{a-4}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4} = \frac{a^2+16-8a}{a-4}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:

$\frac{a^2-8a+16}{a-4}$

Числитель является полным квадратом разности: $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.

$\frac{(a-4)^2}{a-4}$

Сократим дробь на $(a-4)$:

$a-4$

Ответ: $a-4$

е) В выражении $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$ знаменатели $x-3y$ и $3y-x$ являются противоположными: $3y-x = -(x-3y)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6xy}{3y-x} = \frac{6xy}{-(x-3y)} = -\frac{6xy}{x-3y}$

Подставим и выполним вычитание дробей с общим знаменателем:

$\frac{x^2+9y^2}{x-3y} - \frac{6xy}{x-3y} = \frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y}$

Запишем числитель в стандартном виде:

$\frac{x^2-6xy+9y^2}{x-3y}$

Числитель является полным квадратом разности: $x^2-6xy+9y^2 = (x-3y)^2$.

$\frac{(x-3y)^2}{x-3y}$

Сократим дробь на $(x-3y)$:

$x-3y$

Ответ: $x-3y$

63. Докажите, что при всех допустимых значениях $x$ значение вы-ражения не зависит от $x$:

a) $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$;

б) $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, мы должны его упростить. Исходное выражение:

$\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{1 - 2x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатели не должны быть равны нулю: $2x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \frac{1}{2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби: $1 - 2x = -(2x - 1)$. Используем это свойство, чтобы привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{-(2x - 1)} = \frac{3x + 5}{2x - 1} - \frac{7x + 3}{2x - 1}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(3x + 5) - (7x + 3)}{2x - 1} = \frac{3x + 5 - 7x - 3}{2x - 1} = \frac{-4x + 2}{2x - 1}$

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2x - 1)}{2x - 1}$

Поскольку $x \neq \frac{1}{2}$, мы можем сократить дробь на $(2x - 1)$:

$-2$

Результат упрощения — число $-2$, которое не зависит от переменной $x$. Это доказывает утверждение.

Ответ: $-2$.

б) Рассмотрим второе выражение и докажем, что его значение также не зависит от $x$, упростив его:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $5x - 20 \neq 0$ и $20 - 5x \neq 0$. Оба этих условия эквивалентны $5x \neq 20$, то есть $x \neq 4$.

Знаменатель второй дроби $20 - 5x$ можно представить через знаменатель первой: $20 - 5x = -1 \cdot (5x - 20)$. Подставим это в выражение:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{-(5x - 20)} = \frac{5x + 1}{5x - 20} - \frac{x + 17}{5x - 20}$

Объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{(5x + 1) - (x + 17)}{5x - 20} = \frac{5x + 1 - x - 17}{5x - 20} = \frac{4x - 16}{5x - 20}$

Теперь вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{4(x - 4)}{5(x - 4)}$

Так как из ОДЗ следует, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 4)$:

$\frac{4}{5}$

В результате мы получили константу $\frac{4}{5}$, значение которой не зависит от $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

65. Преобразуйте выражение:

а) $ \frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x-2)}{x^2 - 16} $

б) $ \frac{64 - 2ab}{(a-8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(8-a)^2} $

а) Чтобы преобразовать данное выражение, выполним вычитание дробей. Так как знаменатели у дробей одинаковые, мы можем вычесть их числители.

$\frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16} = \frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16}$

Теперь заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности, а знаменатель — разность квадратов. Разложим их на множители:

Числитель: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 4)^2}{(x - 4)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 4$):

$\frac{x - 4}{x + 4}$

Ответ: $\frac{x - 4}{x + 4}$.

б) Рассмотрим выражение и преобразуем его. В первую очередь обратим внимание на знаменатели дробей: $(a - 8)^2$ и $(8 - a)^2$.

Так как $(8 - a) = -(a - 8)$, то их квадраты равны:

$(8 - a)^2 = (-(a - 8))^2 = (-1)^2 \cdot (a - 8)^2 = (a - 8)^2$.

Следовательно, дроби имеют одинаковые знаменатели. Мы можем выполнить вычитание, объединив числители:

$\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2} = \frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(a - 8)^2} = \frac{(64 - 2ab) - (2ab - a^2)}{(a - 8)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{64 - 2ab - 2ab + a^2}{(a - 8)^2} = \frac{a^2 - 4ab + 64}{(a - 8)^2}$

Дальнейшее упрощение выражения невозможно, так как числитель и знаменатель не имеют общих множителей в общем виде.

Ответ: $\frac{a^2 - 4ab + 64}{(a - 8)^2}$.