Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$;

б) $\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}$;

В) $\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$;

Г) $\frac{b + 2}{b^3 + 8}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
В знаменателе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-2)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(x-2)^2}{x(x-2)}$.
Сократим общий множитель $(x-2)$:
$\frac{(x-2)(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x-2}{x}$.
Ответ: $\frac{x-2}{x}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $3y^2 + 24y$ вынесем общий множитель $3y$ за скобки:
$3y(y+8)$.
Знаменатель $y^2 + 16y + 64$ является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = (y+8)^2$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{3y(y+8)}{(y+8)^2}$.
Сократим общий множитель $(y+8)$:
$\frac{3y(y+8)}{(y+8)(y+8)} = \frac{3y}{y+8}$.
Ответ: $\frac{3y}{y+8}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$, разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $a^3 - 1$ представляет собой разность кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 1^3 = (a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2 + a + 1)$.
Числитель $a^2 + a + 1$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{a^2 + a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}$.
Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$:
$\frac{1}{a-1}$.
Ответ: $\frac{1}{a-1}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{b+2}{b^3 + 8}$, разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $b^3 + 8$ представляет собой сумму кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b+2)(b^2 - 2b + 4)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{b+2}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}$.
Сократим общий множитель $(b+2)$:
$\frac{1}{b^2 - 2b + 4}$.
Ответ: $\frac{1}{b^2 - 2b + 4}$

35. Сократите дробь:

а) $\frac{2x + bx - 2y - by}{7x - 7y}$;

б) $\frac{8a + 4b}{2ab + b^2 - 2ad - bd}$;

В) $\frac{xy - x + y - y^2}{x^2 - y^2}$;

Г) $\frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac - ax - cx}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{2x+bx-2y-by}{7x-7y} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ (2x+bx) - (2y+by) = x(2+b) - y(2+b) = (x-y)(2+b) $.

В знаменателе вынесем общий множитель 7 за скобки: $ 7x-7y = 7(x-y) $.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{(x-y)(2+b)}{7(x-y)} $.

Сократим общий множитель $ (x-y) $ (при условии, что $ x \neq y $).

Ответ: $ \frac{2+b}{7} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{8a+4b}{2ab+b^2-2ad-bd} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $ 8a+4b = 4(2a+b) $.

В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ (2ab+b^2) - (2ad+bd) = b(2a+b) - d(2a+b) = (b-d)(2a+b) $.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{4(2a+b)}{(b-d)(2a+b)} $.

Сократим общий множитель $ (2a+b) $ (при условии, что $ 2a+b \neq 0 $).

Ответ: $ \frac{4}{b-d} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{xy-x+y-y^2}{x^2-y^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ (xy-x) + (y-y^2) = x(y-1) + y(1-y) = x(y-1) - y(y-1) = (x-y)(y-1) $.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) $.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{(x-y)(y-1)}{(x-y)(x+y)} $.

Сократим общий множитель $ (x-y) $ (при условии, что $ x \neq y $).

Ответ: $ \frac{y-1}{x+y} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2+2ac+c^2}{a^2+ac-ax-cx} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель разложим по формуле квадрата суммы: $ a^2+2ac+c^2 = (a+c)^2 $.

В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ (a^2+ac) - (ax+cx) = a(a+c) - x(a+c) = (a-x)(a+c) $.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $ \frac{(a+c)^2}{(a-x)(a+c)} $.

Сократим общий множитель $ (a+c) $ (при условии, что $ a+c \neq 0 $).

Ответ: $ \frac{a+c}{a-x} $

37. Из выражений $ \frac{-x}{-y} $, $ \frac{-x}{y} $, $ \frac{x}{-y} $, $ -\frac{x}{y} $ выпишите те, которые:

а) тождественно равны дроби $ \frac{x}{y} $;

б) противоположны дроби $ \frac{x}{y} $.

а) тождественно равны дроби $\frac{x}{y}$

Чтобы найти выражения, тождественно равные дроби $\frac{x}{y}$, нужно упростить каждое из предложенных выражений. Тождественное равенство означает, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных, для которых выражения имеют смысл (в данном случае, при $y \neq 0$).

Рассмотрим каждое выражение:

1. $\frac{-x}{-y}$: Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное. Таким образом, знаки "минус" в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются: $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$. Это выражение тождественно равно исходной дроби.

2. $\frac{-x}{y}$: Знак "минус" относится ко всей дроби, то есть $\frac{-x}{y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение является противоположным исходной дроби, а не равным ей (кроме случая $x=0$).

3. $\frac{x}{-y}$: Знак "минус" в знаменателе также можно вынести перед всей дробью: $\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение также противоположно исходной дроби.

4. $-\frac{x}{y}$: Это выражение по определению противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

Таким образом, только первое выражение тождественно равно дроби $\frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{-x}{-y}$.

б) противоположны дроби $\frac{x}{y}$

Противоположным дроби $\frac{x}{y}$ является выражение $-\frac{x}{y}$. Нам нужно найти все выражения из списка, которые тождественно равны $-\frac{x}{y}$.

Рассмотрим каждое выражение снова:

1. $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$. Это выражение не является противоположным исходной дроби.

2. $\frac{-x}{y}$: Как было показано выше, это выражение можно записать как $-\frac{x}{y}$. Следовательно, оно противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

3. $\frac{x}{-y}$: Это выражение также можно записать как $-\frac{x}{y}$. Следовательно, оно тоже противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

4. $-\frac{x}{y}$: Это выражение по определению является противоположным дроби $\frac{x}{y}$.

Таким образом, три выражения из списка являются противоположными дроби $\frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{-x}{y}$, $\frac{x}{-y}$, $-\frac{x}{y}$.

34. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

а) $(9x^2 - y^2) : (3x + y);$

б) $(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1);$

в) $(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8);$

г) $(1 + a^3) : (1 + a).$

а) Представим частное $(9x^2 - y^2) : (3x + y)$ в виде дроби. Делимое становится числителем, а делитель — знаменателем:

$ \dfrac{9x^2 - y^2}{3x + y} $

Числитель $9x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим одинаковые множители $(3x+y)$ в числителе и знаменателе:

$ \dfrac{(3x - y)(3x + y)}{3x + y} = 3x - y $

Ответ: $3x - y$.

б) Представим частное $(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1)$ в виде дроби:

$ \dfrac{2ab - a}{4b^2 - 4b + 1} $

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $2ab - a = a(2b - 1)$.

Знаменатель $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Свернем его по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$ 4b^2 - 4b + 1 = (2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b - 1)^2 $

Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(2b-1)$:

$ \dfrac{a(2b - 1)}{(2b - 1)^2} = \dfrac{a}{2b - 1} $

Ответ: $\dfrac{a}{2b - 1}$.

в) Представим частное $(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8)$ в виде дроби:

$ \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} $

Знаменатель $x^3 - 8$ является разностью кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $

Подставим разложенный знаменатель в дробь. Видим, что выражение в числителе совпадает с одним из множителей в знаменателе, поэтому можем их сократить:

$ \dfrac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \dfrac{1}{x - 2} $

Ответ: $\dfrac{1}{x - 2}$.

г) Представим частное $(1 + a^3) : (1 + a)$ в виде дроби:

$ \dfrac{1 + a^3}{1 + a} $

Числитель $1 + a^3$ является суммой кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ 1 + a^3 = 1^3 + a^3 = (1 + a)(1^2 - 1 \cdot a + a^2) = (1 + a)(1 - a + a^2) $

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(1+a)$:

$ \dfrac{(1 + a)(1 - a + a^2)}{1 + a} = 1 - a + a^2 $

Ответ: $1 - a + a^2$.

36. (Для работы в парах.) Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$;

б) $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

а) Построим график функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $2x + 10 \neq 0$. Решив это неравенство, получаем $2x \neq -10$, и, следовательно, $x \neq -5$. Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Далее упростим выражение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $x^2 - 25$ является разностью квадратов: $(x - 5)(x + 5)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x + 10)$. Ой, $2(x+5)$. Итак, $y = \frac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)}$.

Поскольку $x \neq -5$, множитель $(x+5)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить. После сокращения получаем более простую функцию: $y = \frac{x-5}{2}$, что то же самое, что и $y = 0.5x - 2.5$.

Эта функция является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

Если $x = 5$, то $y = 0.5 \cdot 5 - 2.5 = 2.5 - 2.5 = 0$. Получаем точку $(5, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = 0.5 \cdot 1 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Получаем точку $(1, -2)$.

Теперь необходимо учесть ограничение из области определения ($x \neq -5$). Это означает, что на графике будет "выколотая" точка в том месте, где $x = -5$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -5$ в упрощенное уравнение прямой: $y(-5) = 0.5 \cdot (-5) - 2.5 = -2.5 - 2.5 = -5$.

Следовательно, точка с координатами $(-5, -5)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$ является прямая $y = 0.5x - 2.5$ с выколотой точкой $(-5, -5)$.

б) Построим график функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 9 \neq 0$. Это значит, что $(x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение. В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 9)$. В знаменателе имеем разность квадратов $x^2 - 9$. Таким образом, $y = \frac{x(x^2-9)}{x^2-9}$.

Так как $x \neq 3$ и $x \neq -3$, выражение $x^2 - 9$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь. Получаем простую функцию $y = x$.

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, через точку $(1,1)$.

Учтем ограничения из ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -3$). На графике будут две выколотые точки.

Найдем их координаты, подставляя значения $x$ в упрощенную функцию $y=x$:

При $x = 3$, $y = 3$. Координаты первой выколотой точки: $(3, 3)$.

При $x = -3$, $y = -3$. Координаты второй выколотой точки: $(-3, -3)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ является прямая $y = x$ с двумя выколотыми точками: $(3, 3)$ и $(-3, -3)$.

1) Обсудим, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б), и как это учитывать при построении графиков.

Общая особенность функций в заданиях а) и б) заключается в том, что они обе заданы в виде дробей (рациональных функций), у которых числитель и знаменатель имеют общие множители. Это приводит к так называемым устранимым разрывам.

При построении графиков таких функций эту особенность нужно учитывать следующим образом:

Первый шаг — найти область определения функции (ОДЗ), то есть все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Эти "запрещенные" значения $x$ не будут входить в итоговый график.

Второй шаг — упростить дробь, сократив ее на общий множитель числителя и знаменателя. Это возможно сделать, поскольку в области определения этот множитель не равен нулю. В результате получается более простая функция (в данных случаях — линейная).

Третий шаг — построить график упрощенной функции. В наших задачах это прямые линии.

Четвертый шаг — на построенном графике отметить "выколотые" точки. Абсциссы этих точек — это "запрещенные" значения $x$ из ОДЗ. Ординаты выколотых точек находятся путем подстановки этих абсцисс в упрощенное уравнение функции.

Ответ: Общим является наличие общих множителей у числителя и знаменателя, что позволяет упростить функцию. При построении графика нужно сначала найти ОДЗ, затем упростить функцию, построить график упрощенной функции и в конце "выколоть" на нем точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ.

38. Упростите выражение:

а) $\frac{a-b}{b-a}$;

б) $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$;

в) $\frac{(a-b)^2}{b-a}$;

г) $\frac{a-b}{(b-a)^2}$;

д) $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$;

е) $\frac{(a+b)^2}{(-a-b)^2}$.

а) Дано выражение $\frac{a-b}{b-a}$.
В знаменателе вынесем знак минус за скобки: $b-a = -(a-b)$.
Подставим это в исходную дробь, получим: $\frac{a-b}{-(a-b)}$.
При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-b)$.
В результате получаем: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Дано выражение $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$.
Воспользуемся свойством квадрата, согласно которому $(x)^2 = (-x)^2$. В нашем случае, $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, выражение преобразуется к виду: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}$.
При условии, что $a \neq b$, сокращаем дробь и получаем $1$.
Ответ: $1$.

в) Дано выражение $\frac{(a-b)^2}{b-a}$.
Преобразуем знаменатель, вынеся знак минус: $b-a = -(a-b)$.
Выражение становится равным $\frac{(a-b)^2}{-(a-b)}$.
При условии $a \neq b$ сокращаем дробь на $(a-b)$:
$\frac{(a-b) \cdot (a-b)}{-(a-b)} = \frac{a-b}{-1} = -(a-b) = b-a$.
Ответ: $b-a$.

г) Дано выражение $\frac{a-b}{(b-a)^2}$.
Знаменатель $(b-a)^2$ равен $(a-b)^2$, так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Подставляем это в дробь: $\frac{a-b}{(a-b)^2}$.
При условии $a \neq b$ сокращаем на $(a-b)$:
$\frac{a-b}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{1}{a-b}$.
Ответ: $\frac{1}{a-b}$.

д) Дано выражение $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$.
В числителе вынесем знак минус за скобки: $(-a-b) = -(a+b)$.
Тогда $(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2$.
Выражение принимает вид $\frac{(a+b)^2}{a+b}$.
При условии $a+b \neq 0$ сокращаем дробь на $(a+b)$, получая $a+b$.
Ответ: $a+b$.

е) Дано выражение $\frac{(a+b)^2}{(-a-b)^2}$.
Преобразуем знаменатель: $(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2$.
Дробь становится равной $\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}$.
При условии $a+b \neq 0$ сокращаем числитель и знаменатель, в результате чего получаем $1$.
Ответ: $1$.