Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:

a) $\frac{y-5}{8}$;

б) $\frac{2y+3}{10}$;

в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$;

г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$?

а) Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим дробь $\frac{y-5}{8}$.
Знаменатель дроби равен $8$, он не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю и решим уравнение:
$y - 5 = 0$
$y = 5$
Так как при $y=5$ знаменатель не равен нулю, это значение является решением.
Ответ: $y = 5$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{2y+3}{10}$.
Знаменатель дроби равен $10$, он не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю и решим уравнение:
$2y + 3 = 0$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$ или $y = -1.5$
Так как при $y=-1.5$ знаменатель не равен нулю, это значение является решением.
Ответ: $y = -1.5$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{x(x-1)}{x+4}$.
Сначала найдем область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -4$, поэтому оба являются решениями.
Ответ: $x = 0$, $x = 1$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{x(x+3)}{2x+6}$.
Сначала найдем область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x + 6 \neq 0$
$2x \neq -6$
$x \neq -3$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Значение $x = -3$ не входит в область допустимых значений, так как при нем знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Единственным решением является $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:

а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно;

б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно;

в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно;

г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно.

а)

Рассмотрим дробь $\frac{3}{x^2 + 1}$.
Числитель дроби, равный 3, является положительным числом ($3 > 0$).
Знаменатель дроби представляет собой выражение $x^2 + 1$.
При любом значении переменной $x$ выражение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$), что означает, что знаменатель всегда положителен ($x^2 + 1 > 0$).
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби являются положительными числами, их частное также всегда будет положительным.
Таким образом, значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно при любом значении $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{-5}{y^2 + 4}$.
Числитель дроби, равный -5, является отрицательным числом ($-5 < 0$).
Знаменатель дроби представляет собой выражение $y^2 + 4$.
При любом значении переменной $y$ выражение $y^2$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $y^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4 ($y^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$), что означает, что знаменатель всегда положителен ($y^2 + 4 > 0$).
Частное отрицательного числа (-5) и положительного числа ($y^2 + 4$) всегда является отрицательным числом.
Таким образом, значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно при любом значении $y$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}$.
Выражение "неотрицательно" означает "больше или равно нулю" ($\ge 0$).
Числитель дроби представляет собой выражение $(a-1)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Равенство нулю достигается при $a = 1$.
Знаменатель дроби, $a^2 + 10$, всегда положителен. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 10 \ge 0 + 10 = 10$. Таким образом, $a^2 + 10 > 0$.
Частное неотрицательного числа ($(a-1)^2$) и положительного числа ($a^2 + 10$) всегда является неотрицательным числом.
Если $a = 1$, значение дроби равно $\frac{(1-1)^2}{1^2+10} = \frac{0}{11} = 0$.
Если $a \ne 1$, числитель положителен, и значение дроби будет положительным.
Таким образом, значение дроби $\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно при любом значении $a$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1}$.
Выражение "неположительно" означает "меньше или равно нулю" ($\le 0$).
Числитель дроби, $(b-3)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(b-3)^2 \ge 0$ при любом значении $b$. Равенство нулю достигается при $b = 3$.
Знаменатель дроби, $-b^2 - 1$, можно преобразовать к виду $-(b^2 + 1)$. Так как $b^2 \ge 0$, то $b^2 + 1 \ge 1$, то есть $b^2+1$ всегда является положительным числом. Следовательно, выражение $-(b^2+1)$ всегда является отрицательным числом ($-b^2 - 1 \le -1$).
Частное неотрицательного числа ($(b-3)^2$) и отрицательного числа ($-b^2 - 1$) всегда является неположительным числом.
Если $b=3$, значение дроби равно $\frac{(3-3)^2}{-3^2-1} = \frac{0}{-10} = 0$.
Если $b \ne 3$, числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому значение дроби будет отрицательным.
Таким образом, значение дроби $\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно при любом значении $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

19. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь:

a) $ \frac{b^2+7}{21} $;

б) $ \frac{(b-2)^2+16}{8} $?

а) Для того чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает наименьшее значение, необходимо проанализировать её структуру. Знаменатель дроби, равный 21, является положительной константой. Следовательно, значение всей дроби будет наименьшим, когда её числитель, $b^2 + 7$, будет наименьшим.

Рассмотрим числитель $b^2 + 7$. Он состоит из двух слагаемых: $b^2$ и 7. Слагаемое $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $b^2$ равно 0. Это значение достигается, когда $b = 0$.

Соответственно, наименьшее значение числителя $b^2 + 7$ будет при $b=0$ и составит $0^2 + 7 = 7$. Таким образом, наименьшее значение дроби достигается при $b=0$.
Ответ: $b = 0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$. Аналогично предыдущему пункту, знаменатель 8 является положительной константой. Значит, для минимизации дроби необходимо минимизировать её числитель, который равен $(b-2)^2 + 16$.

Числитель состоит из двух слагаемых: $(b-2)^2$ и 16. Слагаемое $(b-2)^2$ является квадратом выражения $b-2$. Как и любой квадрат, это выражение всегда неотрицательно: $(b-2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $(b-2)^2$ равно 0.

Это наименьшее значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть когда $b-2 = 0$. Решая это простое уравнение, находим $b=2$. При этом значении $b$ числитель $(b-2)^2 + 16$ принимает свое наименьшее значение, равное $(2-2)^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$. Следовательно, дробь принимает наименьшее значение при $b=2$.
Ответ: $b = 2$.

21. Преобразуйте в многочлен:

а) $(2a + 3)(2a - 3);$

б) $(y - 5b)(y + 5b);$

в) $(0,8x + y)(y - 0,8x);$

г) $(b + 0,5)^2;$

д) $(a - 2x)^2;$

е) $(ab - 1)^2.$

Для преобразования данного выражения в многочлен используем формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. В нашем случае $x=2a$ и $y=3$.
$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$.
Ответ: $4a^2 - 9$.

Применим ту же формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. Здесь $x=y$ и $y=5b$.
$(y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$.
Ответ: $y^2 - 25b^2$.

Сначала поменяем слагаемые в первой скобке, чтобы выражение соответствовало формуле разности квадратов: $(0,8x + y)(y - 0,8x) = (y + 0,8x)(y - 0,8x)$.
Теперь применим формулу $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=y$ и $y=0,8x$.
$(y + 0,8x)(y - 0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$.
Ответ: $y^2 - 0,64x^2$.

Для этого выражения используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В данном случае $x=b$ и $y=0,5$.
$(b + 0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 + b + 0,25$.
Ответ: $b^2 + b + 0,25$.

Здесь применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2x$.
$(a - 2x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$.
Ответ: $a^2 - 4ax + 4x^2$.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=ab$ и $y=1$.
$(ab - 1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$.
Ответ: $a^2b^2 - 2ab + 1$.

16. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:

а) $a > 0$ и $b > 0$;

б) $a > 0$ и $b < 0$;

в) $a < 0$ и $b > 0;

г) $a < 0$ и $b < 0$.

Для определения знака дроби $\frac{a}{b}$ необходимо знать правила деления положительных и отрицательных чисел:

• Деление двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) дает в результате положительное число.
• Деление двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) дает в результате отрицательное число.

а) Если $a > 0$ и $b > 0$, то и числитель, и знаменатель дроби являются положительными числами. При делении положительного числа на положительное результат будет положительным.

Ответ: знак плюс (+).

б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то числитель дроби является положительным числом, а знаменатель — отрицательным. При делении положительного числа на отрицательное (числа с разными знаками) результат будет отрицательным.

Ответ: знак минус (-).

в) Если $a < 0$ и $b > 0$, то числитель дроби является отрицательным числом, а знаменатель — положительным. При делении отрицательного числа на положительное (числа с разными знаками) результат будет отрицательным.

Ответ: знак минус (-).

г) Если $a < 0$ и $b < 0$, то и числитель, и знаменатель дроби являются отрицательными числами. При делении отрицательного числа на отрицательное (числа с одинаковыми знаками) результат будет положительным.

Ответ: знак плюс (+).

18. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:

а) $\frac{4}{a^2+5}$;

б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$?

а) Чтобы найти значение $a$, при котором дробь $\frac{4}{a^2+5}$ принимает наибольшее значение, нужно проанализировать ее структуру. Числитель дроби — это постоянное положительное число 4. Значение такой дроби будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим. Знаменатель дроби равен $a^2+5$. Выражение $a^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$. Наименьшее значение $a^2$ равно 0 и достигается при $a=0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя $a^2+5$ будет при $a=0$ и равно $0^2+5=5$. Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение при $a=0$.
Ответ: $a=0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{10}{(a-3)^2+1}$. Аналогично предыдущему случаю, числитель дроби — это постоянное положительное число 10. Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение. Знаменатель дроби равен $(a-3)^2+1$. Выражение $(a-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0, так как $(a-3)^2 \ge 0$. Это наименьшее значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $a-3=0$, что означает $a=3$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя $(a-3)^2+1$ будет при $a=3$ и равно $(3-3)^2+1 = 0^2+1=1$. Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение при $a=3$.
Ответ: $a=3$.

20. Верно ли утверждение:

а) наибольшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 1;

б) наибольшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 2;

в) наименьшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 2?

Для проверки верности утверждений необходимо найти область значений дроби $F = \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$.

Значение дроби с постоянным положительным числителем обратно пропорционально значению ее знаменателя. Чтобы найти наибольшее значение дроби, нужно найти наименьшее значение ее знаменателя.

Рассмотрим знаменатель $D(x, y) = 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy$. Преобразуем это выражение, выделив полный квадрат:

$$ D(x, y) = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9 $$

Выражение в скобках представляет собой квадрат суммы:

$$ 4x^2 + 4xy + y^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x + y)^2 $$

Таким образом, знаменатель равен:

$$ D(x, y) = (2x + y)^2 + 9 $$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(2x + y)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя достигается, когда $(2x + y)^2 = 0$, то есть при $2x + y = 0$. Минимальное значение знаменателя:

$$ D_{min} = 0 + 9 = 9 $$

Наибольшее значение знаменателя не существует, так как $(2x + y)^2$ может быть сколь угодно большим. Следовательно, у дроби нет наименьшего значения, так как ее значение может быть сколь угодно близким к нулю (оставаясь положительным).

Теперь найдем наибольшее значение дроби:

$$ F_{max} = \frac{18}{D_{min}} = \frac{18}{9} = 2 $$

Область значений дроби: $(0, 2]$.

На основе этого анализа проверим утверждения:

а) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 1;

Это утверждение неверно. Как было показано, наибольшее значение дроби равно 2.
Ответ: неверно.

б) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2;

Это утверждение верно. Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя (9) и равно $\frac{18}{9} = 2$.
Ответ: верно.

в) наименьшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2?

Это утверждение неверно. Во-первых, 2 является наибольшим значением, а не наименьшим. Во-вторых, у дроби не существует наименьшего значения, так как ее значения могут быть сколь угодно близки к нулю.
Ответ: неверно.

22. Разложите на множители:

а) $x^2 - 25$;

б) $16 - c^2$;

в) $a^2 - 6a + 9$;

г) $x^2 + 8x + 16$;

д) $a^3 - 8$;

е) $b^3 + 27$.

а) Выражение $x^2 - 25$ представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители применим формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$ и $b^2 = 25$, следовательно $b = 5$.

Подставив значения в формулу, получаем:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 5)$.

б) Выражение $16 - c^2$ также является разностью квадратов. Используем ту же формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a^2 = 16$, что означает $a = 4$, и $b = c$.

Применяем формулу:

$16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$.

Ответ: $(4 - c)(4 + c)$.

в) Выражение $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $a^2$ соответствует $x^2$, то есть $x = a$. Третий член $9$ можно представить как $3^2$, что соответствует $y^2$, то есть $y = 3$.

Проверим, соответствует ли средний член $-6a$ удвоенному произведению $-2xy$: $-2 \cdot a \cdot 3 = -6a$. Соответствие есть.

Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:

$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.

Ответ: $(a - 3)^2$.

г) Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь первый член $x^2$ соответствует $a^2$, то есть $a = x$. Третий член $16$ можно представить как $4^2$, что соответствует $b^2$, то есть $b = 4$.

Проверим средний член $8x$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Соответствие есть.

Таким образом, выражение можно свернуть в квадрат суммы:

$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.

Ответ: $(x + 4)^2$.

д) Выражение $a^3 - 8$ представляет собой разность кубов. Для разложения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В этом случае $x^3 = a^3$, значит $x = a$. Второй член $8$ является кубом числа $2$, т.е. $8 = 2^3$, значит $y = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

е) Выражение $b^3 + 27$ представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Здесь $x^3 = b^3$, значит $x = b$. Второй член $27$ является кубом числа $3$, т.е. $27 = 3^3$, значит $y = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b + 3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)$.

Ответ: $(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$.