Номер 20, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 20, страница 9.

20. Верно ли утверждение:

а) наибольшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 1;

б) наибольшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 2;

в) наименьшее значение дроби $ \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} $ равно 2?

Для проверки верности утверждений необходимо найти область значений дроби $F = \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$.

Значение дроби с постоянным положительным числителем обратно пропорционально значению ее знаменателя. Чтобы найти наибольшее значение дроби, нужно найти наименьшее значение ее знаменателя.

Рассмотрим знаменатель $D(x, y) = 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy$. Преобразуем это выражение, выделив полный квадрат:

$$ D(x, y) = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9 $$

Выражение в скобках представляет собой квадрат суммы:

$$ 4x^2 + 4xy + y^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x + y)^2 $$

Таким образом, знаменатель равен:

$$ D(x, y) = (2x + y)^2 + 9 $$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(2x + y)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя достигается, когда $(2x + y)^2 = 0$, то есть при $2x + y = 0$. Минимальное значение знаменателя:

$$ D_{min} = 0 + 9 = 9 $$

Наибольшее значение знаменателя не существует, так как $(2x + y)^2$ может быть сколь угодно большим. Следовательно, у дроби нет наименьшего значения, так как ее значение может быть сколь угодно близким к нулю (оставаясь положительным).

Теперь найдем наибольшее значение дроби:

$$ F_{max} = \frac{18}{D_{min}} = \frac{18}{9} = 2 $$

Область значений дроби: $(0, 2]$.

На основе этого анализа проверим утверждения:

а) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 1;

Это утверждение неверно. Как было показано, наибольшее значение дроби равно 2.
Ответ: неверно.

б) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2;

Это утверждение верно. Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя (9) и равно $\frac{18}{9} = 2$.
Ответ: верно.

в) наименьшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2?

Это утверждение неверно. Во-первых, 2 является наибольшим значением, а не наименьшим. Во-вторых, у дроби не существует наименьшего значения, так как ее значения могут быть сколь угодно близки к нулю.
Ответ: неверно.