Номер 26, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 26, страница 13.

26. Сократите дробь:

а) $\frac{4a^2}{6ac}$;

б) $\frac{7x^2y}{21xy^2}$;

в) $\frac{56m^2n^5}{35mn^5}$;

г) $\frac{25p^4q}{100p^5q}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2}{6ac}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить на них.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 6. НОД(4, 6) = 2. Делим коэффициенты на 2:
в числителе: $4 \div 2 = 2$
в знаменателе: $6 \div 2 = 3$

2. Сокращаем переменные. В числителе стоит $a^2$, а в знаменателе $a$. Сокращаем на общий множитель $a$.
В числителе остается $a^{2-1} = a$.
В знаменателе $a^{1-1} = a^0 = 1$.

3. Переменная $c$ находится только в знаменателе, поэтому она остается без изменений.

Запишем весь процесс сокращения:
$\frac{4a^2}{6ac} = \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot a}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot c} = \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{a} \cdot a}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot c} = \frac{2a}{3c}$

Ответ: $\frac{2a}{3c}$

б)

Сократим дробь $\frac{7x^2y}{21xy^2}$.

1. Сокращаем коэффициенты 7 и 21. НОД(7, 21) = 7.
$7 \div 7 = 1$
$21 \div 7 = 3$

2. Сокращаем переменную $x$. В числителе $x^2$, в знаменателе $x$. Сокращаем на $x$. В числителе остается $x^{2-1} = x$.

3. Сокращаем переменную $y$. В числителе $y$, в знаменателе $y^2$. Сокращаем на $y$. В знаменателе остается $y^{2-1} = y$.

Объединим действия:
$\frac{7x^2y}{21xy^2} = \frac{7 \cdot x \cdot x \cdot y}{3 \cdot 7 \cdot x \cdot y \cdot y} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot \cancel{y}}{3 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot y} = \frac{x}{3y}$

Ответ: $\frac{x}{3y}$

в)

Сократим дробь $\frac{56m^2n^5}{35mn^5}$.

1. Сокращаем коэффициенты 56 и 35. НОД(56, 35) = 7.
$56 \div 7 = 8$
$35 \div 7 = 5$

2. Сокращаем переменную $m$. В числителе $m^2$, в знаменателе $m$. Сокращаем на $m$. В числителе остается $m^{2-1} = m$.

3. Сокращаем переменную $n$. В числителе $n^5$, и в знаменателе $n^5$. Они полностью сокращаются ($n^5 \div n^5 = 1$).

Запишем сокращение:
$\frac{56m^2n^5}{35mn^5} = \frac{8 \cdot 7 \cdot m^2 \cdot n^5}{5 \cdot 7 \cdot m \cdot n^5} = \frac{8 \cdot m^{2-1} \cdot n^{5-5}}{5} = \frac{8m^1n^0}{5} = \frac{8m}{5}$

Ответ: $\frac{8m}{5}$

г)

Сократим дробь $\frac{25p^4q}{100p^5q}$.

1. Сокращаем коэффициенты 25 и 100. НОД(25, 100) = 25.
$25 \div 25 = 1$
$100 \div 25 = 4$

2. Сокращаем переменную $p$. В числителе $p^4$, в знаменателе $p^5$. Сокращаем на $p^4$. В знаменателе остается $p^{5-4} = p$.

3. Сокращаем переменную $q$. В числителе и знаменателе стоит $q$. Они полностью сокращаются ($q \div q = 1$).

Выполним сокращение:
$\frac{25p^4q}{100p^5q} = \frac{25 \cdot p^4 \cdot q}{4 \cdot 25 \cdot p^5 \cdot q} = \frac{1 \cdot p^{4-5}}{4} = \frac{p^{-1}}{4} = \frac{1}{4p}$

Ответ: $\frac{1}{4p}$