Номер 30, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 30, страница 13.

30. Сократите дробь:

а) $\frac{y^2 - 16}{3y + 12}$;

б) $\frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2}$;

В) $\frac{(c+2)^2}{7c^2 + 14c}$;

Г) $\frac{6cd - 18c}{(d - 3)^2}$;

Д) $\frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25}$;

е) $\frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9}$.

а) Для сокращения дроби $\frac{y^2 - 16}{3y + 12}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 16$ является разностью квадратов, которую можно представить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $y^2 - 4^2 = (y-4)(y+4)$. В знаменателе $3y + 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки, получим $3(y+4)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$. Сократим общий множитель $(y+4)$ в числителе и знаменателе. Ответ: $\frac{y-4}{3}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2}$. В числителе $5x - 15y$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(x - 3y)$. Знаменатель $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов $x^2 - (3y)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $(x - 3y)(x + 3y)$. Дробь примет вид $\frac{5(x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)}$. Сократим общий множитель $(x - 3y)$. Ответ: $\frac{5}{x + 3y}$

в) В дроби $\frac{(c+2)^2}{7c^2 + 14c}$ числитель уже разложен на множители. В знаменателе $7c^2 + 14c$ вынесем общий множитель $7c$ за скобки: $7c(c+2)$. Дробь примет вид $\frac{(c+2)^2}{7c(c+2)}$. Сократив дробь на общий множитель $(c+2)$, мы получим $\frac{c+2}{7c}$. Ответ: $\frac{c+2}{7c}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{6cd - 18c}{(d-3)^2}$. В числителе $6cd - 18c$ вынесем общий множитель $6c$ за скобки: $6c(d-3)$. Знаменатель уже представлен в виде квадрата $(d-3)^2$. Дробь примет вид $\frac{6c(d-3)}{(d-3)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(d-3)$. Ответ: $\frac{6c}{d-3}$

д) В дроби $\frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы, который по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ сворачивается в $(a+5)^2$. Знаменатель $a^2 - 25$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a-5)(a+5)$. Дробь примет вид $\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a+5)$. Ответ: $\frac{a+5}{a-5}$

е) В дроби $\frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 9$ является разностью квадратов, т.е. $(y-3)(y+3)$. Знаменатель $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности, который по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ сворачивается в $(y-3)^2$. Дробь примет вид $\frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(y-3)$. Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$