Номер 31, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 31, страница 13.

31. Сократите дробь:

a) $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$;

В) $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$;

Г) $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$.

а) Исходная дробь: $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$. Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель является суммой кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$. Сократим на него:
$\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} = \frac{1}{a + b}$
Ответ: $\frac{1}{a + b}$.

б) Исходная дробь: $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$. Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Числитель является разностью кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} = a^2 + ab + b^2$
Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

в) Исходная дробь: $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Числитель можно представить как $(a + b)^3 = (a+b)(a+b)^2$.
Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(a+b)(a+b)^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$:
$\frac{\cancel{(a + b)}(a+b)^2}{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)} = \frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$. Для сокращения этой дроби необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель.
Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$.